卡片组的概率

Question

for(i=1;i<=n;i++)
{
    pick a random index j between 1 and n inclusive;
    swap card[i] and card[j];
}

对于上面的代码，我试图找出原始card[k]在广告n中清盘的概率是1/n吗？我想这是(n-1)/n * 1/(n-1)=1/n。但你可以帮助我证明这一点吗？

Answer 1

k ^th 卡在槽n中结束的概率为1 / n的原因是因为n ^th 迭代完全确定哪个卡在插槽n中结束！ （＆lt; ---这是一个感叹号，而不是一个因子： - ）。

想一想。在循环的最后一次迭代中，您有一些随机排列...并且k ^th 卡位于某个槽中。它进入槽n的概率就是你随机选择k ^th 卡的概率。假设你选择具有同样可能概率的牌，则该概率为1 / n。

希望这有帮助。

- 汤姆

<强> 更新

你可能会认为我做了一个错误的假设。也就是说，您可能想知道...如果k ^th 卡最终会出现在具有不同概率的不同插槽中，该怎么办？如果“随机改组”不是真的随机怎么办？这就是为什么只有最后一次迭代很重要的原因：

令p _i 表示k ^th 卡在n-1次迭代中位于时隙i中的概率（即 - 它位于结束前的时隙i中）。

然后卡k在槽n中结束的概率（在n ^th 迭代中）是：

（1 / n）p ₁ +（1 / n）p ₂ + ... +（1 / n）p _n

但请注意我们可以考虑（1 / n）因此我们有：

（1 / n）（p ₁ + p ₂ + ... + p _n ）

因为这些是概率，所以很明显p _i 的总和（i = 1到n）必须等于1.所以我们只剩下（1 / n ）。

这只是更正式地表明在n ^th 迭代之前事态的随机性并不重要。