Question

有没有一种有效的方法来找到数字n，给定数字N（可能大到10 ^ 18），对于某些n和r，它等于nCr？我们如何找到n的相应最小值？例如

f(20)=6 (20=6C3)  
f(21)= 7 (21=7C2)  
f(22)= 22 (22=22C1)

Answer 1

要找到最小值n与使用r<=n/2找到最大值r相同。由于nCr的下限是(2r)Cr=(2r)!/r!，因此要检查的r的数量是有限的。对于10^18，最大值r为31，因为64C32=1.8*10^18。

要找到n，对于给定的r，满足N = nCr，可以检查N*r!形式的n*(n-1)*...*(n-r+1)。 n接近(N*r!)^(1/r) + r/2。我认为只需几张支票即可进行测试。

<强>更新

简单的python实现：

from operator import mul  # or mul=lambda x,y:x*y
from fractions import Fraction

def nCk(n,k):
  return int(reduce(mul, (Fraction(n-i, i+1) for i in range(k)), 1))
def M(f,t):
  return reduce(mul, range(f,t+1), 1)

def find_n_r(N):
  for r in range(2, 50): # omit 1, since it is trivial solution
    if nCk(2*r, r) > N:
      return False
    Nr = N * M(1,r)
    nn = pow(Nr, 1./r) + r*0.5
    n = int(nn)
    if M(n-r+1,n) == Nr:
      return n, r
    n += 1
    if M(n-r+1,n) == Nr:
      return n, r  

print find_n_r(nCk(31,7))
print find_n_r(nCk(31,7) + 12)

打印：

(31, 7)
False

Answer 2

我会给出一个伪代码。该算法在O（（N log N）²）时间内完成任务。它不够快，但我列出了一些可以显着提高速度的优化。也许有人可以进一步优化这一点。

这里的关键是我们可以确定分割n的素数p的最高幂！对于某些n，p而不计算n！的值，只需在O（log n）时间内查看n。我们表示分割n的p的最高功率！通过hdp（n，p）。 hdp（n，p）可以计算为： hdp（n，p）= floor（n / p）+ floor（n / p ²）+ ....因此hdp（n，p）可以在log _{p <中计算/ sub> n time。}

首先，我们计算小于或等于n的素数列表。然后，我们找到N的所有素因子。这将更容易，因为您在步骤1中计算了高达N的素数。设N = p ₁ ^{a ₁ < /sup>p₂^a₂...p_k^a_k}

n的上限和下限由Ante在他的解决方案中给出。我们分别称它们为n _max和n _min。然后我们迭代n _min和n _max之间的所有n，对于1到n之间的所有r。现在，N = ⁿ C _r =（n！）/（（nr）！* r！）当且仅当hdp（n，p _{i < / sub>） - hdp（k，p _i） - hdp（nk，p _i）= a _i表示所有i。因此，n-r对最多可以在O（（log n）²）时间内被修剪。从最大的素因子开始应该是更好的想法，因为程度应该很小。}

一些优化：

，你可以找到r所在的范围，而不是迭代所有r从1到n。使用不等式，如ⁿ C _r＆gt; （n / r）^r等。
无需考虑n小于p _k的值，其中p _k是N的最大素因子。
分别求解ⁿ C ₂ = N（这只是一个二次方程）。现在，只考虑小于此解决方案的n值。该解决方案将是O（N ^1/2），因此将时间复杂度降低到O（N（log n）²）。为ⁿ C ₂ = N和ⁿ C ₃ = N执行此操作会将时间复杂度降低到O （N ^2/3（log n）²）依此类推。

要检查数字是否为n，请选择r

2 个答案: