基于位表示理解机器精度

Question

我试图了解这是如何计算的：

表示数字的计算机程序，如下所示：整体为1位 符号，指数为5位，尾数为20位。显然，我们需要使用偏差来表示正数和负数。基于此，我将如何计算机器精度和最大可能数？

Answer 1

获得想法的一种方法是测试程序何时舍入为零。你可以在python中使用这段代码。

N = 52
a = 1.0-2**(-N); 
print "%1.25f" % a

尝试不同的N值。当打印输出给出最低N的零时，它将显示有效位的使用位数。 print语句是为了确保程序真正将数字视为零，而不仅仅显示零。

Answer 2

假设您使用的是IEEE标准，则表示数字的公式为：

number = sign*(1+2^(-m)*significand)*2^(exponent-bias)

其中m是用于存储（整数）有效数字（或尾数）的位数，bias等于2^(e-1) - 1，其中e是数字用于存储指数的位数。

让我们看看我们可以从中得到什么。注意

• significand的值介于0和2^m - 1之间（在您的情况下：0到1048575之间）。
• exponent的值介于0和2^e - 1之间。但是，两个极值都保留用于异常（次正规数，无穷小和NAN），称为非标准化数。

因此，

• 小数部分(1+2^(-m)*significand)的最小值为1，最大值为2-2^(-m)（在您的情况下为2-2 ^（ - 20），约为1,999999046）。
• 总指数exponent-bias的最小非特殊值为-2^(e-1)+2（在您的情况下为-14），最大值为2^(e-1)-1（在您的情况下为：15）。

事实证明：

• 可以表示的最小（正）标准化数字是2^(-2^(e-1)+2)（在您的情况下为2 ^（ - 14），大约为0,000061035）
• 最大的是(2-2^(-m))*(2^(2^(e-1)-1))（在您的情况下（2-2 ^（ - 20））*（2 ^ 15），大约65535,96875）。

至于“机器精度”，我不确定你的意思，但是一个调用m+1（这里是21）二进制精度，十进制数字的精度是log10(2^(m+1))，对你来说这大约是6.3。

我希望我没有弄错，我不是这方面的专家。