访问打包对称距离矩阵的元素

Question

假设您有一个对称距离矩阵A。例如A是4*4（矩阵上方和左侧的数字是测量距离的元素的索引，我们只使用下三角形）：

   0   1   2   3  
   _____________
0 |0   0   0   0
1 |a10 0   0   0
2 |a20 a21 0   0
3 |a30 a31 a32 0

所以，基本上，如果A是n*n，我们只有n*(n-1)/2个有用的条目。消除对角线上的零，我们有以下矩阵（类似于Matlab和R所有）：

A=     0   1   2  
       _________
    1 |a10 0   0
    2 |a20 a21 0
    3 |a30 a31 a32

接下来，我们可以将这个矩阵有效地存储在具有np = n*(n-1)/2元素的压缩格式的一维数组中：

Ap = {a10, a20, a21, a30, a31, a32}

这可以加速许多搜索（例如搜索最接近的元素对等）并节省大量空间（n很大时很有用）

访问元素i和j之间的距离相当于访问压缩矩阵中的元素j+i(i-1)/2，即A[i,j] = Ap[j+i(i-1)/2]的{​​{1}}。

问题是，如果我们处于相反的情况，即我们在打包矩阵i>0, j<n-1, j<i中有元素索引，我们如何恢复原始的两个索引： 给定Ap，Ap[x]中i和j的内容为A。

谢谢！

Answer 1

好的，我找到了答案：

i = floor{ (1 + sqrt[1 + 8*x])/2 }
j = x - i