检查树是否是堆[在prolog中]

Question

如果Tree是一个满足堆属性和shape属性的堆，我需要一些帮助在prolog中编写谓词堆（Tree）成功：

• 形状属性：树是一个几乎完整的二叉树;就是所有级别 除了可能最后一个（最深）完全填充之外，如果是最后一个 树的级别不完整，该级别的节点从左到右填充。
• 堆属性：每个节点大于或等于其子节点 根据一些对整个数据固定的比较谓词 结构

我想使用2种不同的表示来编写2个谓词：

1. node(K,L,R)代表一棵树，其中包含键K（整数），左子树L和右子树R

2. 整数列表，从根到叶，从左到右

例如：

?- heap1(node(5, node(4, empty, empty), empty)).
true.

和

?- heap2([5, 4, 3, 2]).
true
?- heap2([7, 6, -1, -3, 5]).
true
?- heap2([]).
true

我目前对Prolog的知识非常有限，需要很多帮助来定义这些谓词。

Answer 1

_{这个问题在最初发布之后就被删除了，因为OP并没有事先询问她问homework question这个问题。由于作业的截止日期已经过去，我决定取消删除这个答案。}

我不是Prolog的大师，但我提出了一些想法。我认为heap1/1比heap2/1更容易实现，因为它的“树结构”更加明显。事实上，我要做的是实施heap1/1，之后我将根据 heap2/1实施heap1/1 。

树实现：heap1/1

empty树是binary heap。至于node(K, L, R)，它是一个堆，如果：

1. L和R是堆。
2. 如果L和/或R不是empty，则其密钥小于或等于K。
3. 如果L的深度为 d ，则R的深度为 d 或 d - 1 。

所以需要做的是检查给定的二叉树是否满足这些属性。

• 给定node，我们需要遍历它以了解它所代表的树的深度。因此，我们将根据谓词heap/1定义heap/2，其中第二个参数是树深度。最后我们不关心实际深度，因此我们定义：

  heap1(H) :- heap1(H, _).
  

• 那么heap/2呢？基本案例是empty，这是一个深度为0（或1的堆，但这与我们的目的无关）。因此：

  heap1(empty, 0).
  

• 对于node(K, L, R)，我们必须递归。我们需要测试上面概述的堆属性并计算树深度H。因此：

  heap1(empty, 0).
  heap1(node(K, L, R), H) :-
    heap1(L, LH), heap1(R, RH),
    (L = node(LK, _, _) *-> K @>= LK; true),
    (R = node(RK, _, _) *-> K @>= RK; true),
    (LH is RH; LH is RH + 1), H is LH + 1.
  

  此代码使用SWI-Prolog的 soft cut (*->)/2。此机制用于测试子树是否为非空，如果是，则验证其密钥是否小于或等于K（使用(@>=)/2）。谓词true/0对应于其中一个子树 为空的情况。 (is)/2用于比较子树的深度并计算整棵树的深度。

列表实现：heap2/1

我假设heap2/1应该检查它的唯一参数是否是表示存储为数组（或Ahnentafel list）的堆的列表。如果是，那么，假设零索引列表，索引 i 的节点的子节点在索引 2i + 1 和 2i + 2

• 因此，父节点不一定存储在其子节点旁边。更具体地说，在列表中的 i 位置，我们需要跳过 i 或 i + 1 位置以到达子树的键。我们将定义一个谓词skipn/3来帮助我们：

  skipn(N, L, E) :- (length(F, N), append(F, E, L)) *-> true; E = [].
  

  skipn(N, L, E)成功，E等于L后，N的{​​{1}}元素被剥离或如果{{ 1}}是空列表，而L的长度不大于E。此实施使用length/2，append/3和L以及N。

• 接下来：(*->)/2的定义。我们将再次在辅助谓词的帮助下调用true/0。如果列表heap2/1（其头部位于可能更大的列表的位置heap2/3）可以转换为二叉树heap2(H, N, T)，则H成功。 N将使用初始索引T调用heap2/1，并验证生成的二叉树实际上是堆。因此：

  heap2/3

• 好吧，我们快到了。在位置0，左子树根的索引heap2(H) :- heap2(H, 0, T), heap1(T). 为N。同样，LI是右子树的根的索引。由于位置2 * N + 1已经RI = 2 * N + 2已跳过列表项，因此只需跳过N和N元素即可达到索引LI - N和{{1} }， 分别。因此：

  RI - N