我从“残酷的Agda简介”http://oxij.org/note/BrutalDepTypes/
中接受了这一点假设我们想要在偶数上定义除以2。我们可以这样做：
div : (n : N) -> even n -> N
div zero p = zero
div (succ (succ n)) p= succ (div n p)
div (succ zero) ()
N是自然数，甚至是以下“命题”
even : N -> Set
even zero = \top
even (succ zero) = \bot
even (succ (succ n)) = even n
data \bot : Set where
record \top : Set where
评估表达式时 div（succ（succ zero）） 你得到 \ p - ＆gt; succ零 这是你所期望的。但是，我不明白的是如何解释\ p。我也不明白代码是什么 f：\ bot - ＆gt; ñ f = div（succ zero） 手段。据我所知，\ bot暗示A代表任何A ......所以类型是有效的。我想我认为依赖类型将允许我以这样的方式写div：div（succ zero）将更明确地失败类型检查。
有人可以就如何在agda中使用和查看谓词提出建议吗？
答案 0 :(得分：8)
您示例中的p证明您要划分的数字（n）确实是even。如果您想使用div功能划分数字，仅提供数字是不够的！ Agda通过向您返回另一个函数来表示这一功能 - 这个函数使用2是even的证明并返回1。
让我们写一些测试来看看它是如何工作的：
test₁ : ℕ
test₁ = div 4 ?
在这种情况下，洞的类型是毫无疑问的⊤。 even 4分两步缩小为⊤，因此您可以轻松填写空白记录或仅提供下划线 - 只有一个可能的值，Agda可以填写：
test₁ = div 4 _
另一方面，当你给它一个奇数时，例如：
test₂ : ℕ
test₂ = div 3 ?
洞的类型减少到⊥。 ⊥是空类型;给出这种类型的价值相当于证明你的逻辑中存在矛盾。所以我们被困在这里 - 这正是我们想要的。
现在，你想让它感觉更多......隐含的，当我们试图给它一个奇数时，可能会引入编译错误。
Agda只能通过统一填写隐含的内容。虽然统一可以做一些复杂的事情，但有一些问题无法帮助;猜测证据就是其中之一。如果我们想隐瞒证据，我们必须保持简单。 even就是一个很好的例子：我们可以从我们正在划分的数字中完整地计算它，它可以返回⊤（可以简单填写）或⊥（这意味着有什么不对的。）
div-implicit : (n : ℕ) {p : even n} → ℕ
div-implicit n {p} = div n p
偶数也很好：
test₃ : ℕ
test₃ = div-implicit 4
奇数会产生编译错误，请参阅我的previous answer。我们得到明亮的黄色，我不知道填写错误：
___10 : ⊥ [ at D:\Agda\SO6.agda:27,9-23 ]
这是一本关于如何通过Agda猜测琐碎证明义务的手册：
首先，我们需要一个确定参数是否正常的函数。通常，这是一个返回Bool或Dec。
check : ℕ → Bool
接下来，我们将Bool转换为命题：
-- The Bool is true.
True : Bool → Set
True true = ⊤
True false = ⊥
-- The Bool is false.
False : Bool → Set
False true = ⊥
False false = ⊤
最后，我们可以包含一个隐含的参数，如果参数合适，Agda会填写，或者返回亮黄色：
f : (n : ℕ) {p : True (check n)} → ℕ
()写成一个模式时，你断言任何人都无法提供该类型的参数 - 如果没有人能用这些参数实际调用函数，为什么还要写右手边？考虑一个例子：
f : (m n : ℕ) → m ≡ n → ℕ
f zero (suc zero) p = ?
f _ _ _ = ?
p的类型是什么？这是0 ≡ 1的证据 - 这显然是无意义的，没有人可以调用f 0 1并提供0 ≡ 1的证明。我们有理由将p替换为()并忽略右侧：
f zero (suc zero) ()
将此应用于div示例：
div (suc zero) p = ?
现在，p的类型为⊥。任何人都无法提供⊥类型的值。再说一遍，我们告知Agda这个案子是不可能的：
div (suc zero) ()
现在，那些问号是什么？关于agda-mode的好处是它可以帮助您以合作的方式构建程序。当你在某个地方写?时，你会告诉agda-mode“我不知道这里发生了什么，让我们一起找出来。”
当您通过C-c C-l检查文件时，Agda会将?转换为 hole （这些是您看到的{ }0 。你可以在一个程序中有一个以上的洞，这解释了背后的数字。
现在，我说这些允许你以合作的方式建立计划，合作在哪里？你可以通过一些洞来做很多动作。例如，您可以询问其类型（通过C-c C-,）：
div : (n : ℕ) → even n → ℕ
div zero p = zero
div (suc (suc n)) p = { }0
div (suc zero) ()
-- Agda information buffer
Goal: ℕ
————————————————————————————————————————————————————————————
p : even n
n : ℕ
这三行告诉您，您最终必须写下ℕ类型的目标（目标），并且在范围p even n和n范围内类型为ℕ。
你甚至可以在洞内写东西，询问你目前写的是什么类型（通过C-c C-.）：
div (suc (suc n)) p = {n }0
-- Agda information buffer
Goal: ℕ
Have: ℕ
————————————————————————————————————————————————————————————
p : even n
n : ℕ
当你满意的时候，你可以通过C-c C-space用你在里面写的任何东西（好吧，只要它的类型）来替换这个洞。
如果你不关心实现（例如，你正在编写证据而且会做任何事情），你也可以告诉Agda尝试通过C-c C-a来猜测它。当你有很多琐碎的案例时，这非常有用。
然后是案件分裂。编写函数时，通常需要进行模式匹配以了解有关参数的更多信息。 Agda允许您节省手动编写所有这些函数方程式的一些痛苦。
_+_ : (m n : ℕ) → ℕ
m + n = { }0
我们写一个变量，我们想要在洞内分割一个案例：
_+_ : (m n : ℕ) → ℕ
m + n = {m }0
然后按下神奇的C-c C-c并瞧瞧：
_+_ : (m n : ℕ) → ℕ
zero + n = { }0
suc m + n = { }1