如何确定（子集的笛卡尔积的联合）是否等于（全套的笛卡尔乘积）

Question

假设我有一些有限集：A, B, ..., K

我也有A1, A2, ... An，它们是A的子集; B1, B2, ... Bn是B等的子集。

我们说S是笛卡儿积A x B x ... x K

和Sn是An x Bn x ... x Kn

的笛卡尔积

是否有算法可以有效地确定所有Sn的并集是否等同于S？

修改

我也在Theoretical Computer Science论坛中提出了这个问题。答案证明问题是完全可靠的。如果答案的作者想在这里发布，我会保持开放的问题以奖励赏金。

Answer 1

问题是coNP-Complete，因此没有有效的算法来解决它。

我将证明3SAT可以简化为此问题的补充（检查所有S _i 的并集是否不等于S）。

考虑变量a，b，...，k和布尔公式

的3SAT问题

f = c ₁ ∧c ₂ ∧...∧c _n

，其中

c _i = x _i，1 ∨x _i，2 ∨x _i，3

和x _i，j 是一个文字（变量或变量的否定）。

设置A = B = C = ... = K = {真，假}。

将 _i 设置为

• {false}如果c _i 包含变量a
• {true}如果c _i 包含变量a
的否定
• {true，false}如果c _i 没有提及

类似地对于B _i 到K _i 对于所有1≤i≤n。

任何元组（a，b，...，k）∈S _i = A _i ⨯B _i ⨯... ⨯K i 将不满足c _i ，因为c _i 中的所有文字都将被否定。

考虑元组（a，b，...，k）∈S ₁ ⋃S ₂ ⋃...⋃S _n 。这些元组属于至少一个S _i ，因此它们不满足c _i ，因此无法满足f。

如果S ₁ ⋃S ₂ ⋃...⋃S _n 等于S =A⨯B⨯...⨯ K，所有元组都不能满足f，所以f是不可满足的。可以类似地表明，如果联合不等于S，则存在满足f的元组。

因此3SAT可以简化为原始问题的补充。但是原始问题的补充是在NP中，因为测试给定元组是否不在并集中可以在多项式时间内完成。所以原始问题的补充是NP-Complete，原始问题本身就是coNP-Complete。

Answer 2

我不知道是否有可能有效地做到这一点。但是，通过逐步检查更多的集合，如果答案是否定的话，实际上可以提前纾困：

• A1, ..., An的联合应为A每套
• 每对A1 x B1, ..., An x Bn的{​​{1}}联盟A x B {/ 1}}
• 重复三次组等

更多地考虑它，我似乎不太可能在不检查A x B的每个元素的情况下完全检查这一点。请考虑以下实例：

S

此处所有A = {a1, a2, a3} B = {b1, b2, b3} C = {c1, c2, c3} A1 = A B1 = B C1 = {c2, c3} A2 = A B2 = {b2, b3} C2 = C A3 = {a2, a3} B3 = B C3 = C 的联合为Sn。这似乎很难从给定的子集中检测到，而没有明确地检查S - (a1, b1, c1)。