以均匀的速度绘制极坐标曲线

Question

我想绘制一幅绘制极坐标曲线（螺旋线）的动画。我使用的是javascript和canvas。目前，我使用setInterval来调用绘制函数，该函数绘制了从极坐标曲线的参数表示（以θ表示的x和y）找到的x和y坐标。我将θ增加0.01，从0增加到2 * pi，每次调用draw（）一次。问题是我希望动画为每个绘制调用绘制相同数量的曲线，以便绘图看起来以均匀的速度前进。如果每次抽签之间的时间不同，则无关紧要;我只需要速度（根据绘制的像素数/绘制的调用数）对整个awing保持不变。换句话说，我需要绘制每个调用绘制的极坐标图段的弧长是相同的。我不知道该怎么做。任何帮助/ sugestions将不胜感激。感谢

Answer 1

设f（z）为您在问题中引用的theta变量。这里有两个参数方程，应该与你的方程非常相似：

x（f（z））= f（z）cos（f（z））
y（f（z））= f（z）sin（f（z））

我们可以将f（z）处的位置p（f（z））定义为

p（f（z））= [x（f（z）），y（f（z））]

f（z）处的速度s（f（z））是p（z）处p的导数的长度。

x'（f（z））= f'（z）cos（f（z）） - f（z）f'（z）sin（f（z））
y'（f（z））= f'（z）sin（f（z））+ f（z）f'（z）cos（f（z））

s（f（z））= length（p'（f（z）））= length（[x'（f（z）），y'（f（z））]）

= length（[f'（z）cos（f（z）） - f（z）f'（z）sin（f（z）），f'（z）sin（f（z））+ F（z）的F'（z）的余弦（F（Z））]）

= sqrt（[f'（z）cos（f（z））] ² + [f（z）f'（z）sin（f（z））] ² + [f'（z）sin（f（z））] ² + [f（z）f'（z）cos（f（z））] ² ）

= sqrt（f'（z）+ [f（z）f'（z）] ² ）

如果你希望速度s（f（z））在C处恒定，因为z以恒定的速率1增加，你需要求解这个一阶非线性常微分方程：

s（f（z））= sqrt（f'（z）+ [f（z）f'（z）] ² ）= C

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28f%27%28z%29+%2B+%5Bf%28z%29f%27%28z%29%5D%5E2%29+%3D+C

解决这个问题会给你一个函数theta = f（z），当你不断增加z时，你可以用它来计算θ。但是，这个微分方程没有封闭形式的解决方案。

换句话说，你必须猜测你应该在每一步增加theta的数量，在delta上进行二进制搜索以在p（t）上添加到θ和线积分以评估每个猜测的移动距离

Answer 2

更简单的方法 - 将参数更改为与步长弧长度成比例的setInterval。这样您就不必尝试反转弧长方程。如果间隔开始变得太大，您可以调整步长，但是您可以大致这样做。