用于查找二叉树中叶节点数的数学函数

Question

有一个未知深度的不平衡二叉树。具有两个子节点的节点的数量由T2表示。仅具有一个子节点的节点由T1表示，叶节点由L表示。如果给出了T1 = m和T2 = n个节点，那么你可以定义一个数学函数f(m, n)，它给出了叶子节点数L？

例如，在下面的树中，T2个节点总数为m = 3，T1个节点总数为n = 2。叶节点数L = f(m,n) = 4。你能找到一个数学函数f(m,n)，它给出了所有树的叶子节点数量吗？

Answer 1

这很简单。在m个内部节点的完全二叉树（即每个非叶子有2个子节点）中，确实有m+1个叶节点。可以删除只有一个子节点的每个节点，并且您仍然拥有二叉树。因此，L中的叶节点数量仅为m+1。或回答问题：f(m, n) = m + 1。

通过“删除T1节点”来举例说明我的意思可能很有用。考虑你的例子。右5只有一个孩子。如果我们删除5并将9直接放在2下，则不会更改叶子数。

如果我们对9执行相同的操作（将4直接放在2下），我们就会有一个完整的二叉树，即所有非叶子都有2个孩子

有关如何删除T1 类型的所有节点而不更改叶节点数的图解说明，请参阅图片。

剩下的就是证明在m个内部节点的树中，每个非叶子只有2个子节点，叶子节点的数量是m+1：

通过归纳证明。归纳假设：|L| = |T2|+1

Base：树由单个节点组成。显然，|L|=1和|T2|=0，所以它成立。

步骤：考虑一棵根不是叶子的树。根据假设，它有两个孩子，左和右。通过归纳假设：|Lleft|=|T2left| + 1和|Lright| = |T2right| + 1。对于总树，我们有|T2| = |T2left| + |T2right| + 1和|L| = |Lleft| + |Lright|。因此，|L| = |T2left| + 1 + |T2right| + 1 = |T2| + 1。

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替代证明

该属性也可以直接证明，没有删除T1节点的handwaving参数。同样，通过归纳，使用归纳假设|L| = |T2| + 1。

• 基础：树是单个节点，因此|L| = 1和|T2| = 0。
• 第一种情况1 ：树的根只有一个孩子，X，然后|L| = |LX|和|T2| = |T2X|，所以|L| = |T2| + 1 by归纳假设。
• 步骤案例2 ：树的根有两个孩子，左右。通过归纳假设：|Lleft|=|T2left| + 1和|Lright| = |T2right| + 1。对于总树，我们有|T2| = |T2left| + |T2right| + 1和|L| = |Lleft| + |Lright|。因此，|L| = |T2left| + 1 + |T2right| + 1 = |T2| + 1。

因此，|L| = |T2| + 1或换句话说f(m, n) = m + 1。