Question

我正在尝试使用Python将具有时变截止频率的带通滤波器应用于信号。我当前使用的例程将我的信号划分为等长时间段，然后对于每个段，我在将信号合并回来之前应用具有时间特定参数的滤波器。参数基于预先存在的估计值。

我似乎遇到的问题是，在应用过滤器后出现的每个时间段的边缘都有“涟漪”。这会导致我的信号不连续，这会干扰我的过滤后数据分析。

我希望有人可以告诉我在Python中是否存在用于实现具有时变参数的过滤器的现有例程？或者，我将非常感谢您就如何解决这个问题提出建议。

编辑 - 下面添加了我想要做的示例。

假设我有一个信号x（t）。我想用带参数（100,200）Hz的带通滤波器对前半部分进行滤波。下半场我想用参数（140,240）Hz进行过滤。我迭代x（t），将我的过滤器应用于每一半，然后重新组合结果。一些示例代码可能如下所示：

outputArray = np.empty(len(x))
segmentSize = len(x) / 2
filtParams  = [(100, 200), (140, 240)]

for i in range(2):
    tempData     = x[i*segmentSize:(i+1)*segmentSize]
    tempFiltered = bandPassFilter(tempData, parameters=filtParams[i])
    outputArray[i*segmentSize:(i+1)*segmentSize] = tempFiltered

（为了节省空间，我们假设我有一个执行带通滤波的功能。）

如您所见，数据段不重叠，只是简单地“粘贴”在新数组中。

编辑2 - 我的问题的一些示例代码@ H.D。

首先，感谢您迄今为止的重要投入。 audiolazy包看起来很棒。

如果我更详细地描述我的目标，我认为会更有用。正如我发布的elsewhere，我试图使用希尔伯特变换提取信号的instantaneous frequency（IF）。我的数据包含很大的噪音但我对IF信号所在的带宽有很好的估计。然而，我遇到的一个问题是 IF通常是非平稳的。因此，使用“静态”滤波器方法时，我经常需要使用宽带通区域，以确保捕获所有频率。

以下代码演示了增加滤波器带宽对IF信号的影响。它包括信号生成功能，使用scipy.signal包的带通滤波器的实现，以及提取结果滤波信号的IF的方法。

from audiolazy import *
import scipy.signal as sig
import numpy as np
from pylab import *

def sineGenerator( ts, f, rate, noiseLevel=None ):
    """generate a sine tone with time, frequency, sample rate and noise specified"""

    fs = np.ones(len(ts)) * f    
    y  = np.sin(2*np.pi*fs*ts)

    if noiseLevel: y = y + np.random.randn(len(y))/float(noiseLevel)
    return y

def bandPassFilter( y, passFreqs, rate, order ):
    """STATIC bandpass filter using scipy.signal Butterworth filter"""

    nyquist = rate / 2.0
    Wn      = np.array([passFreqs[0]/nyquist, passFreqs[1]/nyquist])    
    z, p, k = sig.butter(order, Wn, btype='bandpass', output='zpk')
    b, a    = sig.zpk2tf(z, p, k)

    return sig.lfilter(b, a, y)

if __name__ == '__main__':
     rate = 1e4
     ts   = np.arange(0, 10, 1/rate)

     # CHANGING THE FILTER AFFECTS THE LEVEL OF NOISE
     ys    = sineGenerator(ts, 600.0, 1e4, noiseLevel=1.0) # a 600Hz signal with noise
     filts = [[500, 700], [550, 650], [580, 620]]

    for f in filts:
        tempFilt = bandPassFilter( ys, f, rate, order=2 )
        tempFreq = instantaneousFrequency( tempFilt, rate )

        plot( ts[1:], tempFreq, alpha=.7, label=str(f).strip('[]') )

    ylim( 500, 750 )
    xlabel( 'time' )
    ylabel( 'instantaneous frequency (Hz)' )

    legend(frameon=False)
    title('changing filter passband and instantaneous frequency')
    savefig('changingPassBand.png')

changing passband

信号中有一个频率分量（600Hz）。图例显示了每种情况下使用的过滤器参数。使用较窄的“静态”过滤器可提供“更清晰”的输出。但我的滤波器有多窄，受到频率的限制。例如，考虑以下具有两个频率分量的信号（一个在600Hz，另一个在650Hz）。

varying frequency

在这个例子中，我被迫使用更宽的带通滤波器，这会导致额外的噪声蔓延到IF数据。

我的想法是，通过使用时变滤波器，我可以以特定的时间增量“优化”我的信号的滤波器。因此，对于上述信号，我可能想要在580-620Hz左右过滤前5秒，接下来5秒为630-670Hz。基本上我想最小化最终IF信号中的噪声。

根据您发送的示例代码，我编写了一个函数，该函数使用audiolazy在信号上实现静态Butterworth滤波器。

def audioLazyFilter( y, rate, Wp, Ws ):
    """implement a Butterworth filter using audiolazy"""

    s, Hz = sHz(rate)
    Wp    = Wp * Hz # Bandpass range in rad/sample
    Ws    = Ws * Hz # Bandstop range in rad/sample

    order, new_wp_divpi = sig.buttord(Wp/np.pi, Ws/np.pi, gpass=dB10(.6), gstop=dB10(.1))
    ssfilt = sig.butter(order, new_wp_divpi, btype='bandpass')
    filt_butter = ZFilter(ssfilt[0].tolist(), ssfilt[1].tolist())

    return list(filt_butter(y))

使用此滤波器结合希尔伯特变换程序获得的IF数据与使用scipy.signal获得的IF数据相比较：

AL_filtered = audioLazyFilter( ys, rate, np.array([580, 620]), np.array([570, 630]) )
SP_filtered = bandPassFilter( ys, [580, 620], rate, order=2 )
plot(ts[1:], instantaneousFrequency( SP_filtered, 1e4 ), alpha=.75, label='scipy.signal Butterworth filter')
plot(ts[1:], instantaneousFrequency( AL_filtered, 1e4 ), 'r', alpha=.75, label='audiolazy Butterworth filter')

compare audiolazy with scipy.signal

我现在的问题是，我可以将audiolazy Butterworth例程与您在原始帖子中描述的时变属性结合起来吗？

Answer 1

AudioLazy本身适用于时变滤镜

from audiolazy import sHz, white_noise, line, resonator, AudioIO

rate = 44100
s, Hz = sHz(rate)

sig = white_noise() # Endless white noise Stream

dur = 8 * s # Some few seconds of audio
freq = line(dur, 200, 800) # A lazy iterable range
bw = line(dur, 100, 240)

filt = resonator(freq * Hz, bw * Hz) # A simple bandpass filter

with AudioIO(True) as player:
  player.play(filt(sig), rate=rate)

您还可以使用list(filt(sig))或filt(sig).take(inf)将其用于绘图（或一般分析）。还有许多其他资源也可能有用，例如直接在Z变换滤波器方程中应用时变系数。

编辑：有关AudioLazy组件的更多信息

以下示例使用IPython完成。

Resonator是一个StrategyDict实例，它将许多实现绑定在一个地方。

In [1]: from audiolazy import *

In [2]: resonator
Out[2]: 
{('freq_poles_exp',): <function audiolazy.lazy_filters.freq_poles_exp>,
 ('freq_z_exp',): <function audiolazy.lazy_filters.freq_z_exp>,
 ('poles_exp',): <function audiolazy.lazy_filters.poles_exp>,
 ('z_exp',): <function audiolazy.lazy_filters.z_exp>}

In [3]: resonator.default
Out[3]: <function audiolazy.lazy_filters.poles_exp>

因此resonator在内部调用resonator.poles_exp函数，您可以从中获得帮助

In [4]: resonator.poles_exp?
Type:       function
String Form:<function poles_exp at 0x2a55b18>
File:       /usr/lib/python2.7/site-packages/audiolazy/lazy_filters.py
Definition: resonator.poles_exp(freq, bandwidth)
Docstring:
Resonator filter with 2-poles (conjugated pair) and no zeros (constant
numerator), with exponential approximation for bandwidth calculation.

Parameters
----------
freq :
  Resonant frequency in rad/sample (max gain).
bandwidth :
  Bandwidth frequency range in rad/sample following the equation:

    ``R = exp(-bandwidth / 2)``

  where R is the pole amplitude (radius).

Returns
-------
A ZFilter object.
Gain is normalized to have peak with 0 dB (1.0 amplitude).

所以详细的过滤器分配将是

filt = resonator.poles_exp(freq=freq * Hz, bandwidth=bw * Hz)

Hz只是一个数字，用于将单位从Hz更改为rad / sample，如大多数AudioLazy组件中所使用的那样。

让freq = pi/4和bw = pi/8（pi已经在audiolazy命名空间中）这样做：

In [5]: filt = resonator(freq=pi/4, bandwidth=pi/8)

In [6]: filt
Out[6]: 
              0.233921
------------------------------------
1 - 1.14005 * z^-1 + 0.675232 * z^-2


In [7]: type(filt)
Out[7]: audiolazy.lazy_filters.ZFilter

您可以尝试使用此过滤器，而不是第一个示例中给出的过滤器。

另一种方法是使用包中的z对象。首先让我们找到全极点谐振器的常数：

In [8]: freq, bw = pi/4, pi/8

In [9]: R = e ** (-bw / 2)

In [10]: c = cos(freq) * 2 * R / (1 + R ** 2) # AudioLazy included the cosine

In [11]: gain = (1 - R ** 2) * sqrt(1 - c ** 2)

分母可以使用等式中的z直接完成：

In [12]: denominator = 1 - 2 * R * c * z ** -1 + R ** 2 * z ** -2

In [13]: gain / denominator
Out[14]: 
              0.233921
------------------------------------
1 - 1.14005 * z^-1 + 0.675232 * z^-2

In [15]: type(_) # The "_" is the last returned value in IPython
Out[15]: audiolazy.lazy_filters.ZFilter

编辑2：关于时变系数

滤波器系数也可以是Stream实例（可以从任何迭代中转换）。

In [16]: coeff = Stream([1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1]) # Cast from a list

In [17]: (1 - coeff * z ** -2)(impulse()).take(inf)
Out[17]: [1.0, 0.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0]

同样，给定列表输入而不是impulse() Stream：

In [18]: coeff = Stream((1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1)) # Cast from a tuple 

In [19]: (1 - coeff * z ** -2)([1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]).take(inf)
Out[19]: [1.0, 0.0, -1, 0, 0, 0, 0]

NumPy 1D数组也是可迭代的：

In [20]: from numpy import array

In [21]: array_data = array([1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1])

In [22]: coeff = Stream(array_data) # Cast from an array

In [23]: (1 - coeff * z ** -2)([0, 1, 0, 0, 0, 0, 0]).take(inf)
Out[23]: [0.0, 1.0, 0, 1, 0, 0, 0]

最后一个例子显示了时变行为。

编辑3：分块重复序列行为

行函数具有类似于numpy.linspace的行为，它获得范围＆＃34; length＆＃34;而不是＆＃34; step＆＃34;。

In [24]: import numpy

In [25]: numpy.linspace(10, 20, 5) # Start, stop (included), length
Out[25]: array([ 10. ,  12.5,  15. ,  17.5,  20. ])

In [26]: numpy.linspace(10, 20, 5, endpoint=False) # Makes stop not included
Out[26]: array([ 10.,  12.,  14.,  16.,  18.])

In [27]: line(5, 10, 20).take(inf) # Length, start, stop (range-like)
Out[27]: [10.0, 12.0, 14.0, 16.0, 18.0]

In [28]: line(5, 10, 20, finish=True).take(inf) # Include the "stop"
Out[28]: [10.0, 12.5, 15.0, 17.5, 20.0]

由此，滤波器方程具有不同的样本每样本样本（1样本＆＃34;块＆＃34;）。无论如何，你可以使用转发器来处理更大的块大小：

In [29]: five_items = _ # List from the last Out[] value

In [30]: @tostream
   ....: def repeater(sig, n):
   ....:     for el in sig:
   ....:         for _ in xrange(n):
   ....:             yield el
   ....:             

In [31]: repeater(five_items, 2).take(inf)
Out[31]: [10.0, 10.0, 12.5, 12.5, 15.0, 15.0, 17.5, 17.5, 20.0, 20.0]

并在第一个示例的行中使用它，以便freq和bw成为：

chunk_size = 100
freq = repeater(line(dur / chunk_size, 200, 800), chunk_size)
bw = repeater(line(dur / chunk_size, 100, 240), chunk_size)

编辑4：使用时变增益/包络模拟来自LTI滤波器的时变滤波器/系数

另一种方法是使用不同的＆＃34;权重＆＃34;对于信号的两个不同的滤波版本，并制作一些＆＃34;交叉渐变＆＃34;数学与信号，如：

signal = thub(sig, 2) # T-Hub is a T (tee) auto-copy
filt1(signal) * line(dur, 0, 1) + filt2(signal) * line(dur, 1, 0)

这将从相同信号的不同滤波版本应用线性包络（从0到1和从1到0）。如果thub看起来令人困惑，请尝试sig1, sig2 = tee(sig, 2)应用filt(sig1)和filt(sig2)，这些也应该这样做。

编辑5：时变巴特沃斯滤波器

我花了最后几个小时试图让Butterworth个性化作为你的榜样，强加order = 2并直接给出半功率带宽（~3dB）。我已经完成了四个示例，代码为in this Gist，并且我已将AudioLazy更新为包含gauss_noise高斯分布式噪声流。请注意，gist中的代码没有进行任何优化，在这种特殊情况下可以使用它，并且由于每个样本＆＃34;所以啁啾示例使它非常慢。系数发现行为。即时频率可以从rad / sample中的[filtered]数据得到：

diff(unwrap(phase(hilbert(filtered_data))))

其中diff = 1 - z ** -1或另一种在离散时间内找到导数的方法，hilbert是来自scipy.signal的函数，它给出了分析信号（离散希尔伯特变换是其虚部）结果）和另外两个是AudioLazy的辅助函数。

当Butterworth突然改变其系数同时保持其记忆而没有噪音时会发生这种情况：

在这种转变过程中，显着的振荡行为是显而易见的。您可以使用移动中位数来平滑＆＃34;在较低频率的一侧，同时保持突然过渡，但不会在较高频率下工作。嗯，这就是我们对完美正弦曲线的期望，但是有了噪声（很多噪声，高斯的标准偏差等于正弦振幅），它变成了：

然后我尝试用唧唧声做同样的事情，恰恰是这个：

这显示了在较低带宽下以最高频率进行过滤时的奇怪行为。并附加噪音：

gist中的代码也是AudioIO().play最后一次嘈杂的唧唧声。

编辑6：时变谐振器滤波器

我已经使用谐振器代替Butterworth添加了the same Gist示例。他们使用的是纯Python并且没有经过优化，但在啁啾期间为每个样本调用butter执行速度更快，并且更容易实现，因为所有resonator策略都接受将实例作为有效输入。以下是两个谐振器级联的图（即，二阶滤波器）：

对于三个谐振器的级联（即，三阶滤波器）也是如此：

这些谐振器在中心频率处的增益等于1（0 dB），并且来自＆＃34;突然纯正弦波的振荡模式＆＃34;即使没有任何过滤，转换中的图也会发生。

Answer 2

尝试使用您正在使用的每个滤波器过滤整个信号，然后适当地合并滤波后的信号。粗略地说，在伪代码中：

# each filter acts on the entire signal with each cutoff frequency
s1 = filter1(signal)
s2 = filter2(signal)
s3 = filter3(signal)

filtered_signal = s1[0:t1] + s2[t1:t2] + s3[t2:t3]

我认为这样可以避免因为切断信号然后过滤而导致的所描述的伪像。

另一种可能性是使用Short Time Fourier Transform (STFT)。这是an implementation using numpy。

基本上，您可以对信号进行STFT，通过操作时频阵列来过滤信号，然后对阵列进行反向STFT以获得滤波信号。

使用可逆wavelet transform可能会获得更好的结果。这是一个paywalled paper，描述了如何使用小波变换完成的工作。

Answer 3

如果您使用切片提取信号的某些部分，那么您可以使用矩形窗口有效地对数据进行窗口化，这种窗口由于突然的不连续而在边缘处“振铃”。解决这个问题的一种方法是使用一个响铃较少的窗口，如一个汉宁窗口：

import numpy as np

signal = np.random.randn(222)
length = 50
window = np.hanning(length)
for i in range(0, len(signal)-length, length):
    do_filtering(signal[i:i+length] * window)

有关Windows的更多信息：http://en.m.wikipedia.org/wiki/Window_function

在Python中应用时变过滤器

3 个答案: