Question

我正在尝试使用n个单独的标签创建一个网格，其中每个单元格都标有n个标签中的一个，这样所有标签都与网格中某处的所有其他标签相邻（边缘）（我不在乎哪里）。标签可以根据需要自由出现多次，我希望网格尽可能小。例如，这是一个五个标签的网格，1到5：

3 2 4
5 1 3
2 4 5

虽然手工生成这个对于少量标签来说并不是太糟糕，但是对于较大的数字而言，生成合理大小的网格似乎非常困难，因此我希望编写一个程序来生成它们，而不需要采取蛮力搜索。我想这之前一定要进行调查，但我发现的最接近的是De Bruijn tori，这并不是我想要的。任何帮助将不胜感激。

编辑：感谢Benawii提供以下改进说明：

“给定一个整数n，生成最小的可能矩阵，其中对于每对（x，y），其中x≠y且x，y∈{1，...，n}存在一对相邻的单元格值为x和y的矩阵。“

Answer 1

您可以尝试使用简单的贪婪算法。

我认为我不能给你一个严格的数学证明，至少因为问题没有严格定义，但算法非常直观。

首先，如果您有1 ... K个数字（K个标签），那么您需要至少K *（K-1）/ 2个相邻单元格（连接）才能完全覆盖。大小为NxM的矩阵生成（N-1）* M +（M-1）* N = 2 * N * M-（N + M）个连接。

由于您没有在“最小矩阵”下提及您的理解，我们假设您的意思是该区域。在这种情况下，很明显，对于给定区域，方阵将产生更大数量的连接，因为它具有与其他4个相邻的更多“内部”单元。例如，对于区域16，矩阵4x4优于2x8。 “更好”是直观的 - 更多的联系和更多的机会达到目标。因此，让我们使用目标方矩阵并根据需要展开它们。上式将变为2 * N *（N-1）。

然后我们可以尝试以下贪婪算法：

对于输入数K，找到N，使得2 * N *（N-1）> K *（K-1）/ 2。一个简单的学校方程式。
保留邻接矩阵M，为所有i设置M [i] [i] = 1，为其余对设置0。
初始化大小为NxN的结果矩阵R，填充“空值”标记，例如使用-1。

从左上角开始并向右下方迭代：

for (int i = 0; i < N; ++i)
        for (int j = 0; j < N; ++j)
                R[i][j];

对于每个这样的R [i] [j]（现在是-1）找到这样一个“最适合”的值。同样，“最合适”是一个直观的定义，在这里我们理解这样一个值将有助于新的未使用的连接。因此，创建一组已经填充的单元格邻居数 - S，其大小最多为2（上邻居和左邻居）。然后找到第一个k，这样对于S中的两个数字x，M [x] [k] = 0。如果没有这样的数字则尝试至少一个新连接，如果没有数字，即使是一个，则两个邻居都被完全覆盖，放一些数字从这里揭开 - 可能是'最坏情况'中的那个 - 这样的x，其中Sum（M [x] [i]）是最小的。在任何情况下，当有几个可供选择时，你也应该选择“最糟糕的情况”。
设置R [i] [j]的值后，不要忘记用S - M [R [i] [j]] [x] = M [x] [R]中的数字x标记新连接[i] [j]] = 1。
如果矩阵已填满且M中仍有未标记的连接，则将另一行追加到矩阵并继续。如果在结束之前找到所有连接，则删除多余的行。

您可以查看此算法，看看会发生什么。第5步是玩耍的地方，特别是猜测在相同的情况下选择哪一个（几个数字可以同样'最糟糕的情况'）。

示例：

对于K = 6，我们需要15个连接：

N = 4，我们需要4x4方阵。该理论认为4x3矩阵有17个连接，所以它可能适合，但我们将尝试4x4。

以下是上述算法的输出：

我不确定你能用4x3做，也许是......：）

使用n个标签标记网格，其中每个标签与每个其他标签相邻

1 个答案: