您的数据不一致

Question

给定距离矩阵和一组点，你如何计算出这些点的坐标？

编辑：这是在飞机上。

这个问题得到了解答here但是在尝试不同的距离矩阵时，我真的无法使用这个答案，因为M矩阵具有负值，我的特征向量也是如此。因此，当你取平方根时，程序（在R中）为那些相关的条目输出“NaN”。我猜这将在每次D（i，j）^ 2大于D（1，j）^ 2 + D（i，1）^ 2时发生。

例如，假设我有一个距离矩阵：

0    73   102  496  432  184
73    0   303  392  436  233
102  303    0  366  207  353
496  392  366    0  172  103
432  436  207  172    0  352
184  233  353  103  352    0

使用等式M（i，j）=（0.5）（D（1，j）^ 2 + D（i，1）^ 2-D（i，j）^ 2），我得到（已经是有负面条目）：

0      0.0      0.0      0.0      0.0      0.0
0   5329.0 -38038.0  48840.5    928.5  -7552.0
0 -38038.0  10404.0  61232.0  77089.5 -40174.5
0  48840.5  61232.0 246016.0 201528.0 134631.5  
0    928.5  77089.5 201528.0 186624.0  48288.0
0  -7552.0 -40174.5 134631.5  48288.0  33856.0

然后我得到非零的特征值＆amp;特征向量：

477718.27  101845.63   16474.30  -13116.72 -100692.49


        [,1]       [,2]        [,3]        [,4]        [,5]
 0.00000000  0.0000000  0.00000000  0.00000000  0.00000000
-0.05928626  0.3205747  0.84148945  0.04869546 -0.42806691
-0.16650486 -0.5670946 -0.04507520 -0.58222690 -0.55647098
-0.73371713  0.2827320  0.07386302 -0.45957443  0.40627254
-0.59727407 -0.4623603  0.07806418  0.64968004 -0.03617241
-0.27144823  0.5309625 -0.52755471  0.15920983 -0.58372335

由于我们计算时存在负特征值和特征向量 sqrt（特征向量（i）*特征值（i）），我们将有负值。这是我的最终结果：

[,1]     [,2]      [,3]     [,4]      [,5]
   0   0.0000   0.00000  0.00000   0.00000
 NaN 180.6907 117.74103      NaN 207.61291
 NaN      NaN       NaN 87.38939 236.71174
 NaN 169.6910  34.88326 77.64089       NaN
 NaN      NaN  35.86158      NaN  60.35139
 NaN 232.5429       NaN      NaN 242.43877

这是不使用角度计算坐标点的唯一明确方法吗？如果是，我们是否必须固定距离矩阵，因此D（i，j）^ 2不大于D（1，j）^ 2 + D（i，1）^ 2。

感谢。

Answer 1

您的数据不一致

你的坐标与ℝ⁴中的点位置不一致，更不用说低维空间了。您可以通过计算平方距离矩阵的Menger行列式来判断这一事实：

D <- as.matrix(read.table(textConnection("\
0    73   102  496  432  184
73    0   303  392  436  233
102  303    0  366  207  353
496  392  366    0  172  103
432  436  207  172    0  352
184  233  353  103  352    0")))
n <- nrow(D)
det(rbind(cbind(D^2, 1), c(rep(1, n), 0)))
# Result: 3.38761e+25

如果您的坐标确实来自维度小于5的空间中的点，则此行列式必须为零。事实并非如此，你的距离是不一致的，或者这些点在足够高的空间内形成一个单形。

但无论维度如何，您的数据仍然不一致，因为它在某些情况下违反了三角不等式：

a b c   ac   abc    ab    bc
1 2 4: 496 > 465 =  73 + 392
1 3 4: 496 > 468 = 102 + 366
1 3 5: 432 > 309 = 102 + 207
1 6 4: 496 > 287 = 184 + 103
2 1 3: 303 > 175 =  73 + 102
2 6 4: 392 > 336 = 233 + 103
3 1 6: 353 > 286 = 102 + 184
5 4 6: 352 > 275 = 172 + 103

直接从a到c从不会比通过b更长时间，但根据你的数据，它确实需要更长的时间。

简单的平面方法

如果您的数据与平面中的点一致（即，对于四个点的组合的所有Menger行列式计算为零），您可以使用以下方法获取坐标：

distance2coordinates <- function(D) {
  n <- nrow(D)
  maxDist <- which.max(D)
  p1 <- ((maxDist - 1) %% n) + 1
  p2 <- ((maxDist - 1) %/% n) + 1
  x2 <- D[p1, p2]
  r1sq <- D[p1,]^2
  r2sq <- D[p2,]^2
  x <- (r1sq - r2sq + x2^2)/(2*x2)
  y <- sqrt(r1sq - x^2)
  p3 <- which.max(y)
  x3 <- x[p3]
  y3 <- y[p3]
  plus <- abs(D[p3,]^2 - (x3 - x)^2 - (y3 - y)^2)
  minus <- abs(D[p3,]^2 - (x3 - x)^2 - (y3 + y)^2)
  y[minus < plus] <- -y[minus < plus]
  coords <- data.frame(x = x, y = y)
  return(coords)
}

这个想法是你选择两个以最大距离为起点的点。放置在原点上，另一个放在正x轴上。然后你可以计算所有其他x坐标，作为两个圆的交点，遵循方程式

I:     x²       + y² = r₁²
II:   (x - x₂)² + y² = r₂²
I-II:  2*x*x₂ = r₁² - r₂² + x₂²

给定这些x坐标，你也可以获得y坐标，直到符号。然后，您选择距离这两个起点中的任何一个都足够远的第三个点来决定标志。

这种方法根本不会尝试处理不精确的输入。它假定精确数据，并且仅使用距离矩阵的一部分来找到点。它不会找到与所有输入数据最匹配的点集。

在您的数据上，这将失败，因为平方根的某些参数将为负数。这意味着所涉及的两个圆圈根本不相交，因此违反了三角形不等式。

如果是，我们是否必须固定距离矩阵，因此D（i，j）^ 2不大于D（1，j）^ 2 + D（i，1）^ 2。

D（i，j）≤D（i，k）+ D（k，j）将有所帮助，即对于所有三元组和没有正方形。这将确保三角不平等在任何地方都存在。结果仍然不需要是平面的;因为你必须修复所有这些Menger决定因素。

Answer 2

这是一个简单的python函数来计算你需要的东西，解决超球面。

import sympy
import numpy as np
def give_coords(distances):
    """give coordinates of points for which distances given

    coordinates are given relatively. 1st point on origin, 2nd on x-axis, 3rd 
    x-y plane and so on. Maximum n-1 dimentions for which n is the number
    of points

     Args:
        distanes (list): is a n x n, 2d array where distances[i][j] gives the distance 
            from i to j assumed distances[i][j] == distances[j][i]

     Returns:
        numpy.ndarray: cordinates in list form n dim

     Examples:
        >>> a = sympy.sqrt(2)
        >>> distances = [[0,1,1,1,1,1],
                         [1,0,a,a,a,a],
                         [1,a,0,a,a,a],
                         [1,a,a,0,a,a],
                         [1,a,a,a,0,a],
                         [1,a,a,a,a,0]]
        >>> give_coords(distances)
        array([[0, 0, 0, 0, 0],
               [1, 0, 0, 0, 0],
               [0, 1, 0, 0, 0],
               [0, 0, 1, 0, 0],
               [0, 0, 0, 1, 0],
               [0, 0, 0, 0, 1]], dtype=object)

        >>> give_coords([[0, 3, 4], [3, 0, 5], [4, 5, 0]])
        array([[0, 0],
        [3, 0],
        [0, 4]], dtype=object)        

    """
    distances = np.array(distances)

    n = len(distances)
    X = sympy.symarray('x', (n, n - 1))

    for row in range(n):
        X[row, row:] = [0] * (n - 1 - row)

    for point2 in range(1, n):

        expressions = []

        for point1 in range(point2):
            expression = np.sum((X[point1] - X[point2]) ** 2) 
            expression -= distances[point1,point2] ** 2
            expressions.append(expression)

        X[point2,:point2] = sympy.solve(expressions, list(X[point2,:point2]))[1]

    return X

Answer 3

这是可解决的

如果您想查看符合您在问题中提供的距离矩阵的笛卡尔类型坐标，请查看以下图像。
distances matrix and coordinates 您的输入矩阵给出了6个节点之间的距离，我们称之为a，b，c，d，e和f。总共需要5个维度才能将坐标分配给满足距离矩阵的所有六个节点。其中两个维度是虚构的 - 这是打破三角形规则的结果。结果是通过使用余弦定律和一些数字运算得出的。

a（0,0,0,0,0）
b（73,0,0,0,0）
c（-521.07,510.99i，0,0,0）
d（669.05，-802.08i，664.62,0,0）
e（12.72，-163.83i，488.13,158.01i，0）
f（-103.45,184.11i，84.52,138.06i，262.62）

使用距离矩阵找到点集的坐标点

3 个答案:

您的数据不一致

简单的平面方法