找到有向图中任意两个顶点之间的所有边

Question

我有一个算法来查找有向图的边缘，从顶点 u 到任何其他具有O（| V | + | E |）时间复杂度的顶点（基于DFS） 。我必须开发一种算法来找到O（| V || E |）中任意两个顶点 u 和 v 之间的边。

您有任何建议或提示可以实现这一目标吗？

如果我为每个顶点重复DFS-Visit，则只有第一次顶点是白色时，以下次调用将不执行任何操作。 如果我在此之前重置颜色，则算法将为O（| V | ^ 2 + | V || E |）。

提前非常感谢你！

Answer 1

将问题拆分为子问题，您可以使用算法来实现所需的复杂性，如下所示：

• 在结构图（基础无向图）上使用DFS，并查找其中的所有连接组件。设它们是（V1，E1），（V2，E2），......，（Vk，Ek）
• 对于每个此类组件，运行您的算法。很明显，两个节点之间没有桥接，它们位于不同的组件中。

复杂性将是：
第1步是O(V+E) - DFS。
第2步：

• 我们使用您从每个节点重复开发的算法为黑色 每个组件上的框，因此组件i的复杂性为O(V_i^2 + V_i*E_i)
• 由于每个组件i：E_i >= V_i -1（否则不是。{ 已连接，树有|V|-1个边缘），O(ViEi + Vi^2) = O(ViEi)。
• 因此，此步骤的复杂性为O(V1E1 + V2E2 + ... + VkEk)。

• 请注意，对于每个i E_i <= E，因此复杂性不是 更糟糕的是：

  O(V1E + V2E + ... + VkE)  = O(E *(V1+V2+ ... + Vk)) = O(VE)
  

因此，根据需要，总复杂度为O(VE)。