轮换

Question

我将椭圆作为拟合数据集的水平曲线。选择一个特定的椭圆后，我想将其报告为中心点，半长轴和短轴长度以及旋转角度。换句话说，我想从形式转换（使用mathematica）我的椭圆方程：

Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + Exy + F = 0

更标准的形式：

((xCos[alpha] - ySin[alpha] - h)^2)/(r^2) + ((xSin[alpha] + yCos[alpha] - k)^2)/(s^2) = 1

其中(h,k)为中心，alpha为旋转角度，r和s为半轴

我尝试转换的实际等式是

 1.68052 x - 9.83173 x^2 + 4.89519 y - 1.19133 x y - 9.70891 y^2 + 6.09234 = 0

我知道中心点是拟合的最大值，即：

 {0.0704526, 0.247775}

Answer 1

我发布了a version of this answer on Math SE，因为它从正确的数学排版中获益良多。这个例子也比较简单，还有一些额外的细节。

以下描述遵循German Wikipedia article Hauptachsentransformation。根据维基百科的链接，它的英文对应是principal component analysis。我发现前一篇文章比后者更加几何。然而，后者非常关注统计数据，所以它可能对你有用。

轮换

您的椭圆被描述为

        [A   E/2]   [x]             [x]
[x y] * [E/2   B] * [y]  +  [C D] * [y] + F = 0

首先确定旋转。你可以通过识别这个2×2矩阵的特征值和特征向量来做到这一点。这些特征向量将形成一个描述旋转的正交矩阵：其条目是公式中的Sin[alpha]和Cos[alpha]。

用你的号码，你得到

[A  E/2]   [-0.74248  0.66987]   [-10.369  0     ]   [-0.74248 -0.66987]
[E/2  B] = [-0.66987 -0.74248] * [ 0      -9.1715] * [ 0.66987 -0.74248]

三个因子中的第一个是由特征向量形成的矩阵，每个归一化为单位长度。中心矩阵在对角线上具有特征值，最后一个是第一个的转置。如果将向量(x,y)与最后一个矩阵相乘，则将以混合项消失的方式更改坐标系，即x和y轴平行于椭圆的主轴。这就是你想要的公式中发生的事情，所以现在你知道了

Cos[alpha] = -0.74248  (-0.742479398678 with more accuracy)
Sin[alpha] =  0.66987  ( 0.669868899516)

翻译

如果将上面公式中的行向量[C D]与三个矩阵中的第一个相乘，则此效果将完全取消(x, y)乘以第三个矩阵。因此，在该改变的坐标系中，您将二次项的中心对角矩阵用于线性项。

                     [-0.74248  0.66987]
[1.68052, 4.89519] * [-0.66987 -0.74248] = [-4.5269 -2.5089]

现在，您必须x和y独立complete the square，最后会得到一个表格，您可以从中找到中心坐标。

-10.369x² -4.5269x = -10.369(x + 0.21829)² + 0.49408
-9.1715y² -2.5089y = -9.1715(y + 0.13677)² + 0.17157

h = -0.21829  (-0.218286476695)
k = -0.13677  (-0.136774259156)

请注意h和k描述已经旋转的坐标系中的中心;要获得原始中心，你将再次乘以第一个矩阵：

[-0.74248  0.66987]   [-0.21829]   [0.07045]
[-0.66987 -0.74248] * [-0.13677] = [0.24778]

符合您的描述。

缩放

上面完成的方格为常数因子F提供了更多的术语：

6.09234 + 0.49408 + 0.17157 = 6.7580

现在将其移动到等式的右侧，然后将整个等式除以此数字，以便从所需的形式得到= 1。然后你可以推断出半径。

1    -10.369
-- = ------- = 1.5344
r²   -6.7580

1    -9.1715
-- = ------- = 1.3571
s²   -6.7580

r = 0.80730  (0.807304599162099)
s = 0.85840  (0.858398019487315)

验证结果

现在让我们检查一下我们没有犯任何错误。通过我们找到的参数，您可以将等式组合在一起

  ((-0.74248*x - 0.66987*y + 0.21829)^2)/(0.80730^2)
+ (( 0.66987*x - 0.74248*y + 0.13677)^2)/(0.85840^2) = 1

将1移到左侧，然后乘以-6.7580，最后得到原始等式。 Expanding that（括号中印有额外的精确版本），你会得到

-9.8317300000 x^2
-1.1913300000 x y
+1.6805200000 x
-9.7089100000 y^2
+4.8951900000 y
+6.0923400000

这是您输入的完美匹配。

Answer 2

如果您有h和k，则可以使用拉格朗日乘数最大化/最小化函数(x-h)^2+(y-k)^2，但要受椭圆上的约束。最大距离是主半径，最小距离是小半径，alpha是从水平方向旋转的距离。

椭圆的标准形式

2 个答案:

轮换

翻译

缩放

验证结果