我正在学习从邻接矩阵（比如AM1）计算路径矩阵的方法。
具有n个顶点的图G的路径矩阵是布尔n * n矩阵，其元素可以定义为：
p[i][j]=1(if there is a path from i to j)
p[i][j]=0(otherwise)
我学到的步骤如下：
如果我们将邻接矩阵A [] []自身相乘，我们得到A ^ 2（比如AM2），其每个顶点A [i] [j]基本上表示从i到j的路径长度2的路径数。
类似地，如果我们将邻接矩阵乘以3次，即我们得到A ^ 3（比如AM3），其每个顶点A [i] [j]基本上表示从i到j的路径长度3的路径数。等等。
现在我们定义一个Matrix X，以便：
X = AM1 + AM2 + AM3 ... AMn（其中n是顶点数）
从这个X矩阵中，我们通过将所有非零顶点替换为1来计算路径/到达能力矩阵。
我无法理解的是如何将所有非零顶点替换为1给出了路径矩阵。 为什么我们计算或添加所有矩阵到AMn。？。
据我所知，X [i] [j]表示路径长度n或小于n的路径数，从i到j，但为什么我们只计算直到n，而不是更多或更少？
请解释一下！
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我无法掌握的是如何将所有非零顶点替换为1给出了路径矩阵？
如果A^k在i->j步之后从k给出了路径数，则非零数字表示路径矩阵中的相应条目应为True，因为至少存在一条路径。现在，k=1（循环），k=2，k=3 ......一直到k=N ...
但为什么我们只计算到n，而不是更多或更少？
如果在只有N个顶点的图上有i->j的路径，最坏的情况是有一个路径占用每个中间顶点，即N-1步，因此需要计算A^N。
请注意，还有其他更便宜的方法来计算所谓的路径矩阵。基本上（对于无向图），您正在寻找图的connected components，这可以通过深度优先搜索在线性时间内完成。要计算所有A^k，每次乘法需要大约O(N^3)次，N次，总共大约O(N^4)。这可以通过矩阵的对角化O(N^3)来避免，其特征值和特征向量可以对图的结构有所了解（远远超过路径矩阵本身！）。