Question

我已经开始学习用Java编写代码并决定使用Project Euler网站给我一些小任务来尝试完成我学习的每一段新编码。所以我遇到了Problem 3：

13195的主要因素是5,7,13和29。 600851475143的最大主要因素是什么？

我想到了这个问题并研究了许多关于素数的不同理论，以及如何通过各种不同的计算找到它们（以Eratosthenes的筛子为例），我想到的解决方案是测试2 - >的数字。 n并查看它们是否为素数，如果它们是那么我将Tn变量（在本例中为600851475143）除以新发现的素数并查看它是否是一个因子。如果是，我会将它分配给变量Hp（最高素数），在程序结束时我会将Hp输出到控制台以给出我的结果。

这是我的代码：

public class Largest_Prime_Factor_NEW_SOLUTION {

    static long Tn = 600851475143L;
    static long Hp = 0;
    static boolean isPrime = false;

    public static void main(String[] args) {

        for (long i=2; i<Tn; i++) {
            System.out.println("TESTING NUMBER " + i);
            for (long k=2; k < i; k++) {
                if (i % k == 0) {
                    System.out.println(i + " IS NOT A PRIME");
                    break;
                } else if (k + 1 == i) {
                    isPrime = true;
                }
            }

            if (isPrime) {
            System.out.println(i + " IS A PRIME");
            if (Tn % i == 0) {
                System.out.println(Tn + " IS DIVISIBLE BY " + i);
                Hp = i;
            } else {
                System.out.println(Tn + " IS NOT DIVISIBLE BY " + i);
            }
            }

            isPrime = false;
        }
        System.out.println("THE HIGHEST PRIME NUMBER OF " + Tn + " IS " + Hp);
    }
}

现在我知道这段代码非常低效，而且刚开始我已经设法从我开始的地方压缩它（到处都有循环！）但是我要问的是，我该如何改进呢？它惹恼了我，因为我所研究的一切都与其他人的做法相矛盾，而且非常令人困惑。我已经尝试了筛选方法，但我知道布尔数组只能是一个int数组，而不是一个长数组？

据我所知，在开始编码时，我将仅限于可以使用的知识，但只是出于兴趣，我很想知道最终的解决方案是什么。

Answer 1

你可以做的是找到Tn的最低除数。假设它是p，再次找到Tn/p的最低除数，依此类推。

现在，每一步p都是素数[下面的解释]。所以收集它们，它们是Tn的主要除数。

为了更好的时间复杂度，您可以检查最多只有ceil(sqrt(Tn))的除数，而不是Tn-1。

当您开始检查Tn的素数除数时，您可以从2开始。一旦你得到一个素数除数p，就不要再从2开始Tn/p。因为Tn/p也是Tn的除数，因为Tn的除数不小于p，Tn/p也没有。p。因此，再次从p开始[Tn可以在p]中拥有多个权力。如果Tn未划分p+1，请转到{{1}}。

示例：

Tn = 45
1.从2开始.2不分45 2.下一个测试是针对3. 45可以被3整除。所以3是它的主要除数 3.现在检查45/3 = 15的素数除数，但从3开始，而不是从2开始。好吧，15可以被3整除。所以从15/3 = 5开始 5.注意5，ceil（sqrt（5））是3.但是5不能被3整除。但是因为4>小区（SQRT（5））我们可以毫无疑问地说5是素数。

因此45的主要除数是3和5。

为什么数字的最小除数（1除外）是素数？

假设上述陈述是错误的。那么数字N具有最小但复合的除数，比如C。

所以C | N. 现在C是复合的，它的除数小于自身但大于1 比如说C的这个除数是P.
所以P | C，但我们有C | N =＆gt; P | N，其中1 < P＆lt; C.

这与我们的假设相矛盾，即C是N的最小除数，所以一个数的最小除数总是一个素数。

Answer 2

感谢您的帮助，在阅读完评论和答案之后，我设法将代码进一步压缩到以下内容：

    public class Largest_Prime_Factor_NEW_SOLUTION_2 {

    static long Tn = 600851475143L;

    public static void main(String[] args) {

        for (long i = 2; i < Math.sqrt(Tn); i++) {

            if(Tn % i == 0) {
                Tn = Tn / i;
                i--;
            }   
        }
        System.out.println(Tn);
    }
}

它完美无缺！再次感谢您的帮助和时间来帮助我理解。我知道这更像是一个数学问题，而不是编码问题，但它帮助我理解了一些事情。我现在要去学习别的东西了:)）

Answer 3

有很多方法可以改进这样的程序，但改进主要是用数学而不是编程：

在查找因素时，请检查每个数字，而不仅仅是素数。如果你找到一个因素检查它是否是素数。你可以通过这种方式节省许多素数。
复合数的最大素数因子最多可以是数字的平方根，因此您可以提前停止迭代。
使用快速素性测试而不是进行试验分割http://en.wikipedia.org/wiki/Primality_test

然后，这是一次性的。不要过度复杂化。

Answer 4

由于您正在将此作为一项学习练习，当您对当前课程进行了充分的改进时，为什么不尝试以不同的方式解决同一问题？ Fermat Factorization Method首先找到大的因素。

Answer 5

通过试验除法对复合数进行分解的简单算法如下：

function factors(n)
    f, fs := 2, []
    while f * f <= n
        while n % f == 0
            fs.append(f)
            n := n / f
        f := f + 1
    if n > 1
        fs.append(n)
    return fs

该算法可以改进，并且有更好的算法来分解大数，但它足以完成您的任务。当您准备好了更多时，我在我的博客中谦虚地推荐essay 使用Prime数字编程，其中包括该算法的实现以及Java中的其他实现。

Answer 6

这是this的java版本：

 static boolean isPrime(int n){
    if (n == 2) return true;
    if (n == 3) return true;
    if (n % 2 == 0) return false;
    if (n % 3 == 0) return false;

    int i = 5;
    int w = 2;
    while (i * i <= n) {
        if(n % i == 0)
        return false;

        i += w;
        w = 6 - w;
    }
    return true;
}

正如@Alexandru描述的那样：它是经典O（sqrt（N））算法的变体。它使用了这样一个事实：素数（除了2和3）的形式是6k-1和6k + 1，并且只看这种形式的除数。

Java中的素数 - 算法

6 个答案: