查找不同类型的连接组件

Question

我想将有向图中的单连通分量定义为子图，其中对于每对节点u和v，存在从u到v或从v到u的路径。它还应该具有它不是另一个单连通组件的子图的属性。

我知道如何找到弱连接和强连接的组件。如何找到单连通组件？

一种非常低效的方法可能会从每个节点进行广度搜索，以查看可以从中获取哪些节点，并尝试以某种方式从这些节点集计算组件。

Answer 1

最大的单连接子图（我拒绝将它们称为“组件”，因为底层关系不是传递的）包含全部或不包含强连接组件。作为枚举最大单连通子图的第一步，然后将每个SCC折叠到一个顶点（即计算输入图的凝聚）。

非循环有向图的单连通子图具有以下特性：对于不同的节点u和v，存在从u到v的路径，或从v到u的路径，但不是两者。写你＆lt; v如果有从u到v和u！= v的路径，因为u＆lt; v或v＆lt;你，但不是两个，你＆lt; v和v＆lt; w表示u＆lt; w，关系＆lt;是严格的总订单。通过对子图中的顶点进行排序，我们发现它们位于单个路径上。当且仅当不能插入顶点时，此路径才是最大的，这意味着它从源（无入射边）开始，在接收端结束（没有出射边），并且仅包含出现在{{ 3}}非循环有向图。

这是一种枚举有向图G的最大单连通子图的算法。

1. 找出G的强大成分。收缩它们，产生凝结G'。
2. 计算G'的传递减少G''。
3. 通过例如深度优先搜索来枚举所有源 - 宿路径，然后用G中的强组件替换每个节点。

这是一个具有指数级最大单连通子图的图族。所有边缘都朝下。

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Answer 2

构造一个无向图G，它具有与原始图相同的节点集，以及在原始图中任意一个方向的边连接的每对节点之间的边。

通过广度优先搜索找到G的连通分量。循环遍历节点，但仅在不属于任何先前找到的组件的节点处开始新搜索。见（https://en.wikipedia.org/wiki/Connected_component_%28graph_theory%29#Algorithms）

每个组件的节点也构成原始有向图的单连通分量的节点。

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我现在明白，每个节点必须边缘到无向图子集中的每个其他节点，所以需要的是G中的clique，而不是G的连通子图。不幸的是，问题的决策形式是NP完全的，函数形式是NP难的。

有关寻找集团的一些免费选项，请参阅algorithms。