Question

我正在尝试定义集合理论（并集，交集等）对于使用SMTLIB接口的Z3。不幸的是，我目前定义挂起z3的一个简单的查询，所以我想我错过了一些简单的选项/标志。

(declare-sort Set)
(declare-fun emp () Set)
(declare-fun add (Set Int) Set)
(declare-fun cup (Set Set) Set)
(declare-fun cap (Set Set) Set)
(declare-fun dif (Set Set) Set)
(declare-fun sub (Set Set) Bool)
(declare-fun mem (Int Set) Bool)
(assert (forall ((x Int)) (not (mem x emp))))
(assert (forall ((x Int) (s1 Set) (s2 Set)) 
            (= (mem x (cup s1 s2)) (or (mem x s1) (mem x s2)))))
(assert (forall ((x Int) (s1 Set) (s2 Set)) 
            (= (mem x (cap s1 s2)) (and (mem x s1) (mem x s2)))))
(assert (forall ((x Int) (s1 Set) (s2 Set)) 
            (= (mem x (dif s1 s2)) (and (mem x s1) (not (mem x s2))))))
(assert (forall ((x Int) (s Set) (y Int)) 
            (= (mem x (add s y)) (or (mem x s) (= x y)))))

(declare-fun z3v8 () Bool)
(assert (not z3v8))
(check-sat)

关于我缺少什么的暗示？

另外，据我所知，没有标准的SMT-LIB2 例如，设置操作的编码Z3.mk_set_{add,del,empty,...} （这就是为什么我试图通过量词来获得这个功能。）那是对的吗？还是有另一条路线？

谢谢！

兰吉特。

Answer 1

您的配方是可以满足的，Z3无法为这种配方生成模型。请注意，它必须为未解释的排序Set生成解释。您可以考虑几种替代方案。

1-禁用基于模型的量词实例化（MBQI）模块。顺便说一句，所有基于Boogie的工具（VCC，Dafny，Coral等）都是这样做的。要禁用MBQI模块，我们必须使用

(set-option :auto-config false)
(set-option :mbqi false)

备注：在正在进行的分支中，选项:mbqi已重命名为:smt.mbqi。

缺点：当MBQI模块被禁用时，Z3通常会返回unknown以获得包含量词的可满足的公式。

2-将T的集合编码为从T到布尔的数组。 Z3支持扩展阵列理论。扩展理论有两个新的运算符：((_ const T) a)常量数组，((_ map f) a b)映射运算符。 This paper描述了扩展数组理论，以及如何使用它来编码联合和交集等集合操作。 rise4fun网站有例子。如果这些是您问题中唯一的量词，这是一个很好的选择，因为问题现在是一个可判定的片段。另一方面，如果您有包含集合的其他量化公式，那么这可能表现不佳。问题是由阵列理论构建的模型不知道附加量词的存在。

例如，如何使用const和map对上述运算符进行编码，请参阅：http://rise4fun.com/Z3/DWYC

3-将T的集合表示为从T到Bool的函数。如果我们没有集合集，或者将集合作为参数的未解释函数，这种方法通常很有效。 Z3在线教程有一个例子（量词部分）。

用Z3 / SMT-LIB2定义集合论

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