Question

我正在寻找一种算法来测试非负dxd整数矩阵是否是不可分解的。如果它不能写成两个非负dxd整数矩阵的乘积，我称之为不可分解的矩阵，它们都不是排列矩阵（即在非负整数矩阵SLmd的半环中不可逆）（N））。我最感兴趣的是具有行列式1的3x3矩阵的情况。注意1x1矩阵的情况对应于问一个正整数是素数。对于具有行列式1的2×2矩阵的情况，众所周知，唯一不可分解的矩阵是置换矩阵和基本矩阵（这是因为基本矩阵生成整个SL_2（N））。在SL_3（N）中有无数多个已知的不可分解矩阵的例子（J. Rivat“维度3中的不可分解矩阵”附录中的Pytheas Fogg“动态，算术和组合中的替代”，Springer LNM）。

有一种天真的算法，其包括查看具有B a d x k矩阵和C a k x d矩阵的形式BC = A的更一般的因子分解。这样我们就可以开始递归构造了。我们用B0填充B的第一列，用C0填充C的第一行，使得B0 * C0 <= A（这里我的意思是所有系数都更小）。然后，足以找到尺寸分别为d x（k-1）和（k-1）x d的B'和C'，使得B'* C'= A-B0 * C0。这个算法比较慢！

与问题相关的方程是二次的，有2 d ^ 2个变量（对于A为d ^ 2，对于B为d ^ 2），我想用非负整数求解它们。由于方程是非常特殊的形式，我想可能有更好的方法来解决它们，或者至少使递归构造更有效。

Answer 1

好吧我试着按照我的意思写出问题：

M = A x B

M已知的非负整数输入矩阵NxN
A，B未知输出分解M，非单位，非负整数

矩阵的乘法：

M[i][j] = sum(k=0,1,...,N-1)A[i][k]*B[k][j]

好了，现在让我写一个3x3的例子，为了清晰起见：

M[3][3]=A*B

  i  j    i  k    k  j    i  k    k  j    i  k    k  j
M[0][0]=A[0][0]*B[0][0]+A[0][1]*B[1][0]+A[0][2]*B[2][0]
M[0][1]=A[0][0]*B[0][1]+A[0][1]*B[1][1]+A[0][2]*B[2][1]
M[0][2]=A[0][0]*B[0][2]+A[0][1]*B[1][2]+A[0][2]*B[2][2]
M[1][0]=A[1][0]*B[0][0]+A[1][1]*B[1][0]+A[1][2]*B[2][0]
M[1][1]=A[1][0]*B[0][1]+A[1][1]*B[1][1]+A[1][2]*B[2][1]
M[1][2]=A[1][0]*B[0][2]+A[1][1]*B[1][2]+A[1][2]*B[2][2]
M[2][0]=A[2][0]*B[0][0]+A[2][1]*B[1][0]+A[2][2]*B[2][0]
M[2][1]=A[2][0]*B[0][1]+A[2][1]*B[1][1]+A[2][2]*B[2][1]
M[2][2]=A[2][0]*B[0][2]+A[2][1]*B[1][2]+A[2][2]*B[2][2]
// usage of B[i][j]
M[0][0]=A[0][0]*B[0][0]+...
M[1][0]=A[1][0]*B[0][0]+...
M[2][0]=A[2][0]*B[0][0]+...
M[?][j]=A[?][i]*B[i][j]+...
// usage of A[i][j]
M[0][0]=A[0][0]*B[0][0]+...
M[0][1]=A[0][0]*B[0][1]+...
M[0][2]=A[0][0]*B[0][2]+...
M[i][?]=A[i][j]*B[j][?]+...

当您仔细观察时，解决方案非常简单。找到所有：

A[i][j]=GCD(M[i][0],...,M[i][N-1])

然后从M，A或B = M *逆（A）

导出B. 如果存在至少单个A [i] [j]＆gt;，则M是可分解的。 1

你也可以把B作为GCD并从M，B，......中衍生出来。

这就是全部，希望它有所帮助......

非负整数矩阵的不可复合性

1 个答案: