random（）* random（）分布如何？

Question

给定函数random()，它返回在0和1之间均匀分布的浮点值。

函数random() * random()的分布类型是什么？

Answer 1

# test.py
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 10**6
plt.hist(np.random.uniform(size=N) * np.random.uniform(size=N), bins=50, normed=True)
plt.show()

运行python test.py会产生：

Answer 2

类型为Product Distribution，不再统一。

Answer 3

转换是y = x * x。 x在0 <= x <= 1的范围内具有概率分布函数fx（x）= 1.然后，x的累积分布函数在相同范围内是Fx（x）= x。

y的CDF是Fy（y <= Y）= Fx（sqrt（Y））= sqrt（Y），0 <= Y <= 1。

现在区分为在同一范围内得到fy（y）= 1 /（2 * sqrt（y））。

编辑：

上述解决方案假定＆＃34; random（）* random（）＆＃34;每次抽奖都依赖于相同的值。相反，如果您希望相乘的值彼此独立，则数学更复杂但仍易于处理。

现在让

y1 = x1 * x2其中fx1（x1）= 1，0 <= x1 <= 1，并且类似地对于x2。

假设x1和x2之间存在独立性，则联合PDF为

fx1x2（x1，x2）= fx1（x1）* fx2（x2）。

引入一个额外的变量y2来处理2变量联合PDF的转换。为了好的计算，让y2 = x2。

所以我们的系统是

g1（x1，x2）= x1 * x2

g2（x1，x2）= x2

在更简单的情况下，我们需要反转函数，现在通过求解y1和y2：

h2（y1，y2）= x2（= y2）

h1（y1，y2）= y1 / x2 = y1 / y2

我们需要Jacobian

J =（pg1 / px1）（pg2 / px2） - （pg1 / px2）（pg2 / x1）

其中＆＃34; p＆＃34;是偏导数。

所以在我们的案例中

J =（x2）（1） - （x1）（0）= x2。

转换公式（来自任何基于入门微积分的概率文本）

fy1y2（y1，y2）= fx1x2（x1，x2）/ J

在我们的案例中简化为

1 / y2，范围0 <= y1 / y2 <= 1且0 <= y2 <= 1。

最后，为了获得fy1（y1），我们将关节分布积分在不需要的变量y2上，注意保持在正确的范围y1 / y2 <= 1或y1 <= y2，因为y2> = 0。

fy1（y1）=在0 <= y1 <= 1的范围内从（1 / y2）dy2 = -ln（y1）的y1到1的积分。

注意，在两种情况下，产品的分布被加权以支持较小的值，因为分数（0 <= x <= 1）乘以分数是较小的分数。