为什么`x = x *（1.5f-（xhalf * x * x））;`可以是牛顿方法迭代？

Question

好的，到目前为止，我想很多人都知道着名的fast inverse square root（请参阅Writing your own square root function和0x5f3759df上的详情）

这是代码

float FastInvSqrt(float x) {
  float xhalf = 0.5f * x;
  int i = *(int*)&x;         // evil floating point bit level hacking
  i = 0x5f3759df - (i >> 1);  // what the fuck?
  x = *(float*)&i;
  x = x*(1.5f-(xhalf*x*x)); // one Newton Method iteration
  return x;
}

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好的，我不需要知道更多魔法0x5f3759df。

我不明白为什么x*(1.5f-(xhalf*x*x))是Newton Method次迭代？

我试过分析，但却无法得到它。

因此，假设r是实数，x是r的倒数sqrt。

1 / (x^2) = r，然后是f(x) = r*(x^2)-1和f'(x) = 2 * r * x

所以一次迭代应该是x1 = x - f(x)/f'(x) = x / 2 + 1 / (2 * r * x)，对吗？

x * (1.5 - ((r / 2) * x * x))怎么来？（注意我在这里用xhalf替换了r / 2

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修改

好的f(x) = x^2 - 1/r是另一种形式，让我计算

f(x) = x^2 - 1 / r

f'(x) = 2 * x

所以x1 = x - (f(x)/f'(x)) = x - (x^2 -(1 / r))/(2*x) = x / 2 + 1 / (2 * r * x)，它仍然与代码中使用的公式完全不同，对吗？

Answer 1

维基百科说功能是（使用您的变量名称）：

  

f（x）= 1 / x ² - r

然后我们有：

  

f'（x）= -2 / x ³

迭代是：

  

x - f（x）/ f'（x）=

     

x - （1 / x ² - r）/（ - 2 / x ³ ）=

     

x + x ³ / 2 *（1 / x ² - r）=

     

x + x / 2 - r / 2 * x ³ =

     

x *（1.5 - r / 2 * x * x）

这就是你在代码中看到的。

Answer 2

Newton's method是根据迭代定义的

  

x _{i + 1} = x _i - f（x _i ）/ f'（x _i ）

（其中f'（x）是f（x）的一阶导数）。要找到r的反向根，需要找到函数f（x）= x - 1 / sqrt（r）的零（或等效地，f（x）= x ² - 1 / R）。只需获取衍生物，将其插入到迭代步骤的定义中，简化并获得答案。

实际上，代码中使用的确切形式来自于使用第三种等效形式：

  

f（x）= x ^-2 - r

有关推导的详细步骤，请参阅this article。它也来自Wikipedia article on fast inverse square root。