Question

我很想理解mod操作背后的逻辑，因为我知道可以执行位移操作来执行不同的操作，例如位移到乘法。

我可以看到它完成的一种方法是通过递归算法继续划分，直到你不能再分裂，但这看起来效率不高。

任何想法都会有所帮助。提前谢谢！

Answer 1

快速版本是：取决于硬件，优化器，if it's division by a constant or not（pdf），是否有要检查的例外（例如模数为0），是否以及如何处理负数（{{3} }）等...

对于无符号整数，R给出了一个很好的，简洁的答案，但除非你精通C语言，否则很难理解。

R所照亮的技术的关键是去除q的倍数，直到不再有q的倍数。我们可以通过一个简单的循环天真地做到这一点：

while (p >= q) p -= q; // One liner, woohoo!

代码可能很短，但是对于较大的p值和较小的q值，这可能需要很长时间。

一次剥离一个q比一次删除多个q更好。请注意，我们实际上想要删除尽可能多的q - 即floor(p/q)多q个......实际上，这是一种有效的技术。对于无符号整数，可以预期p % q == p - (p / q) * q。（注意无符号整数除法向下舍入。）

但这几乎就像作弊，因为分裂和剩余操作是如此密切相关。（事实上，如果硬件本身支持除法，它通常支持除法和计算余数运算，因为它们之间的关系非常紧密。）

假设我们无法访问除法，我们如何找到大于1的q倍数才能删除？在硬件中，固定的移位操作是便宜的（如果不是实际上是免费的）并且在概念上表示乘以2的非负功率。例如，将位串向左移位3相当于乘以8（即2 ^ 3），例如2。 5十进制相当于'101'二进制。通过在右侧添加三个零（给出'101000'）将结果'101'变为二进制，结果为十进制50 - 五次八。

同样，班次操作作为软件操作非常便宜，而且你很难找到一个不能快速支持它们的控制器。（像ARM这样的架构甚至可以将移位与其他指令结合起来，使它们在很多时候都是“免费的”。）

对于这些转变操作，ARMed（无法抗拒），我们可以按照以下步骤进行：

找出最大的2的幂，我们可以乘以q并且仍然小于p。
从2的最大幂到最小的幂，乘以q乘以2的幂，如果它小于p的左边，则从p的左边减去它。
无论你剩下什么，剩下的就是。

为什么这样做？因为最后你会发现两个减去的所有权力实际上总和为floor(p / q)！不要相信我，this is a scary question for C++知道类似的知识。

打破R的答案：

#define HI (-1U-(-1U/2))

这实际上为您提供了一个无符号整数，只设置了最高位。

unsigned i;
for (i=0; !(HI & (q<<i)); i++);

该行实际上发现两个q的最高功率可以在溢出无符号整数之前相乘。这不是绝对必要的，但除了增加所需的执行时间外，它不会改变结果。

如果您不熟悉此行中的C-isms：

(q<<i)左移位i。回想一下，相当于乘以2 ^ i。
HI & (q<<i)执行按位AND。由于HI仅填充其最高位，因此当(q<<i)足够大以使顶部位非零时，这将仅导致非零值。还有一个向左移动，并且会出现整数溢出。

!(HI & (q<<i))

(HI & (q<<i))为'true'，否则为'false'。

do { if (p >= (q<<i)) p -= (q<<i); } while (i--);

这是一个简单的递减循环do { .... } while (i--);。请注意，在i上使用后递减，因此循环执行，然后检查i是否不为零，然后从i中减去一个，然后再检查它导致true继续。这具有循环在i为0时最后执行的属性。这很重要，因为我们可能需要删除q的未经过复制的副本。

if (p >= (q<<i))检查2 ^ i * q是否小于或等于p。如果是，p -= (q<<i)将其剥离。

剩下的就剩下了。

Answer 2

虽然大多数C实现在具有除法指令的硬件上运行，但余数操作可以大致像这样执行，用于计算p%q，假设无符号值：

#define HI (-1U-(-1U/2))
unsigned i;
for (i=0; !(HI & (q<<i)); i++);
do { if (p >= (q<<i)) p -= (q<<i); } while (i--);

结果余数在p。

Answer 3

除了使用移位的硬件指令和实现，R.. suggests，还有reciprocal multiplication。

%的右侧是常量，在编译时已知，可以使用此技术。
倒数乘法用于实现除法，但根据公式%将其用于a%b == a-(a/b)*b很容易。

Answer 4

根据优化器的智能，模数库2有一个快捷方式。例如，a % 32可以实现为a & 31。一般来说，a % (2^N) == a & (2^N -1)。与分裂相比，这是闪电般快速的。大多数分频器（通常是硬件）需要至少1个周期来计算结果的每个位，而逻辑AND只是几个周期操作（在流水线中）。

编辑：仅当a未签名时才有效！

C如何在内部执行％操作

4 个答案: