我有12组向量（每组约10-20个向量），我想选择每组的一个向量，以便将这些向量的总和作为参数的函数f最大化。另外，我对该总和的某些组件有约束。
示例：
a_1 = [3 2 0 5], a_2 = [3 0 0 2], a_3 = [6 0 1 1], ... , a_20 = [2 12 4 3]
b_1 = [4 0 4 -2], b_2 = [0 0 1 0], b_3 = [2 0 0 4], ... , b_16 = [0 9 2 3]
...
l_1 = [4 0 2 0], l_2 = [0 1 -2 0], l_3 = [4 4 0 1], ... , l_19 = [3 0 9 0]
s = [s_1 s_2 s_3 s_4] = a_x + b_y + ... + l_z
约束：
s_1 > 40
s_2 < 100
s_4 > -20
目标：选择x，y，...，z以最大化f（s）：
f(s) -> max
其中f是一个非线性函数，它取矢量s并返回一个标量。
Bruteforcing需要太长时间，因为有大约5.9万亿个组合，并且因为我需要最大（甚至更好的前10个组合），我不能使用任何我想到的贪婪算法。
向量非常稀疏，大约70-90％为零。如果那有助于某种程度......？
Matlab优化工具箱没有任何帮助，因为它不支持离散优化。
答案 0 :(得分：5)
基本上这是一个锁定拾取问题，锁的引脚有20个不同的位置，有12个引脚。另外：
...有趣！
基于Rasman的方法和Phpdna的评论，和假设您使用int8作为数据类型，在给定的约束下有
>> d = double(intmax('int8'));
>> (d-40) * (d+100) * (d+20) * 2*d
ans =
737388162
可能的向量s（给予或采取一些，没有考虑+ 1等）。对您的相对简单的f(s)进行约7.4亿次评估不应超过2秒，并且找到最大化s的所有 f(s)，您将被留下在向量集中查找线性组合的问题，这些组合可以添加其中一个解s。
当然，这种组合的发现并非易事，如果你正在处理，整个方法都会失败
int16: ans = 2.311325368800510e+018
int32: ans = 4.253529737045237e+037
int64: ans = 1.447401115466452e+076
所以，我将在这里讨论一种更直接，更通用的方法。
由于我们正在谈论整数和相当大的搜索空间，我建议使用分支定界算法。但与bintprog算法不同，您必须使用不同的分支策略，当然，这些应该基于非线性目标函数。
不幸的是，在优化工具箱（或者我发现的文件交换）中没有这样的东西。 fmincon是不行的，因为它使用渐变和Hessian信息（整数通常为零），而fminsearch是禁止的，因为你需要一个真正良好的初始估计，收敛速度是（大致）O(N)，意思是，对于这个20维问题，你必须在收敛之前等待很长时间，没有找到全球解决方案的保证。
interval method可能是一种可能性，但是，我个人对这方面的经验很少。在MATLAB或其任何工具箱中没有与本地区间相关的东西，但是有免费的INTLAB。
所以，如果你不想实现自己的非线性二进制整数编程算法，或者不想用INTLAB冒险，那么实际上只剩下一件事：启发式方法。在this link中有类似的情况，并提供了解决方案的大纲：使用全局优化工具箱中的遗传算法（ga）。
我会大致如此地实现这个问题：
function [sol, fval, exitflag] = bintprog_nonlinear()
%// insert your data here
%// Any sparsity you may have here will only make this more
%// *memory* efficient, not *computationally*
data = [...
... %// this will be an array with size 4-by-20-by-12
... %// (or some permutation of that you find more intuitive)
];
%// offsets into the 3D array to facilitate indexing a bit
offsets = bsxfun(@plus, ...
repmat(1:size(data,1), size(data,3),1), ...
(0:size(data,3)-1)' * size(data,1)*size(data,2)); %//'
%// your objective function
function val = obj(X)
%// limit "X" to integers in [1 20]
X = min(max(round(X),1),size(data,3));
%// "X" will be a collection of 12 integers between 0 and 20, which are
%// indices into the data matrix
%// form "s" from "X"
s = sum(bsxfun(@plus, offsets, X*size(data,1) - size(data,1)));
%// XxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxX
%// Compute the NEGATIVE VALUE of your function here
%// XxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxX
end
%// your "non-linear" constraint function
function [C, Ceq] = nonlcon(X)
%// limit "X" to integers in [1 20]
X = min(max(round(X),1),size(data,3));
%// form "s" from "X"
s = sum(bsxfun(@plus, offsets, X(:)*size(data,1) - size(data,1)));
%// we have no equality constraints
Ceq = [];
%// Compute inequality constraints
%// NOTE: solver is trying to solve C <= 0, so:
C = [...
40 - s(1)
s(2) - 100
-20 - s(4)
];
end
%// useful GA options
options = gaoptimset(...
'UseParallel', 'always'...
...
);
%// The rest really depends on the specifics of the problem.
%// Useful to look at will be at least 'TolCon', 'Vectorized', and of course,
%// 'PopulationType', 'Generations', etc.
%// THE OPTIMZIATION
[sol, fval, exitflag] = ga(...
@obj, size(data,3), ... %// objective function, taking a vector of 20 values
[],[], [],[], ... %// no linear (in)equality constraints
1,size(data,2), ... %// lower and upper limits
@nonlcon, options); %// your "nonlinear" constraints
end
请注意，即使您的约束基本上是线性，您必须计算s的值的方式也需要使用自定义约束函数（nonlcon ）。
特别注意，目前（可能）这是使用ga的次优方式 - 我不知道你的目标函数的细节，所以可能还有更多。例如，我目前使用简单的round()将输入X转换为整数，但使用'PopulationType', 'custom'（使用自定义'CreationFcn'，'MutationFcn'等）可能产生更好的结果。另外，'Vectorized'可能会加快速度，但我不知道你的函数是否很容易被矢量化。
是的，我使用嵌套函数（我只喜欢那些东西！）;如果使用子函数或独立函数，它会阻止这些巨大的，通常相同的输入参数列表，并且它们实际上可以提高性能，因为几乎没有数据复制。但是，我意识到他们的范围规则使它们有点类似于goto结构，所以它们是-ahum-“不是每个人的一杯茶”...你可能想要将它们转换为子功能以防止长时间与你的同事进行无用的讨论:)
无论如何，这应该是一个很好的起点。让我知道这是否有用。
答案 1 :(得分：0)
除非你定义一些关于矢量集如何组织的情报，否则除了纯粹的暴力之外，没有智能的方法来解决你的问题。
说你找到了s.t. f（s）是s的最大给定约束，你仍然需要弄清楚如何用12个4元素向量构建s（如果有的话，是一个超定系统），其中每个向量有20个可能的值。稀疏性可能会有所帮助，尽管我不确定如何将具有四个元素的向量设为70-90%为零，并且如果在向量的组织方式中有一些尚待描述的方法，则稀疏性才有用
所以我不是说你无法解决问题，我说你需要重新思考问题是如何设置的。
答案 2 :(得分：0)
我知道，这个答案真的很适合你late。
不幸的是，这个问题，除了蛮力之外，没有多少模式可供开发--Branch＆amp; Bound，Master＆amp;奴隶等 - 尝试主奴隶方法-i.e.首先解决函数连续非线性问题作为主要问题，并且将离散选择作为从属解决方案可能有所帮助，但是由于具有尽可能多的组合，并且没有任何关于向量的信息，因此没有太多的工作空间。
但是基于给定的几乎无处不在的函数，基于和和乘法运算符及其逆的组合，稀疏性是一个明确的点，可以在这里被利用。如果70-90％的向量为零，则解空间的几乎很大一部分将接近零，或接近infinite。因此，一个80-20的伪解决方案很容易丢弃“零”和“零”。组合，只使用＆＃39;无限＆＃39;的。