考虑加速度的插值

Question

我真的不知道我想要做什么被认为是插值，但我会尝试解释。

现在，当我想要从A点到点B（为简单起见，只考虑1个坐标空间）时间T我使用线性插值公式计算位置：

P(t) = A + (B-A) * (t / T), T != 0

这在大多数情况下都可以正常工作，但是我想要像这样的cosider加速和制动：

• 从x%速度加速到vi速度
的第一个v时间
• 下一个y%时间v速度
• z%
的最后vf时间减速达到t = T速度

考虑加速和制动，如何在P(t)中计算t，[0, T]？

Answer 1

考虑到我们有以下几点：

t0 = 0 is the beginning of the movement
ta is the point when acceleration ends
td is the point when decceleration begins
T is the end of the movement

然后我们有三个运动部分。 [t0, ta], (ta, td], (td, T]。每个都可以单独指定。对于加速/减速，我们需要计算加速度aa和减速度ad，如下所示：

aa = (v - vi) / (ta - t0)
ad = (vf - v) / (T - td)

根据您的问题，所有值均已给出。

然后运动可以表示为：

P(t) :=
    if(t < ta)
        1 / 2 * aa * t^2 + vi * t + A
    else if(t < td)
        v * (t - ta) + 1 / 2 * aa * ta^2 + vi * ta + A
                    // this is the length of the first part
    else
        1 / 2 * ad * (t - td)^2 + v * (t - td) 
          + v * (td - ta) + 1 / 2 * aa * ta^2 + vi * ta + A
          //those are the lengths of the first two parts

如果我们预先计算零件的长度

s1 := 1 / 2 * aa * ta^2 + vi * ta + A
s2 := v * (td - ta)

然后公式变得更短：

P(t) :=
    if(t < ta)
        1 / 2 * aa * t^2 + vi * t + A
    else if(t < td)
        v * (t - ta) + s1
    else
        1 / 2 * ad * (t - td)^2 + v * (t - td) + s1 + s2

以下是一个示例图：

但是，除非您选择了正确的值，否则移动很可能不会B T。那是因为方程式过度指定。你可以，例如根据B计算v而不是指定它。

修改

计算v以达到特定B为：

v = (2 * A - 2 * B - td * vf + T * vf + ta * vi) / (ta - td - T)