在二进制矩阵中查找最低成本

Question

考虑一个n * n二进制矩阵。该矩阵的每个单元最多具有4个邻居（如果存在）。如果它们是邻居并且它们的值不相等，我们称该矩阵的两个单元不兼容。我们为每个不兼容的货币对支付$ b。我们也可以通过支付$ a来更改单元格的值。

问题是要找到此矩阵的最低成本。

我已经使用了回溯并找到了O(2 ^ (n * n))的算法。有人可以帮我找到更有效的算法吗？

Answer 1

这个想法归功于Greig，Porteous和Seheult。将矩阵视为带有效的有向图，其顶点对应于矩阵条目和从每个顶点到其四个邻居的弧，每个邻居具有容量 b 。引入另外两个顶点，一个源和一个接收器，以及容量为 a 的弧：从源到每个顶点，对应的0条目，以及从每个顶点到相应的1个条目的接收器。找到最小切口;更改后值为0的条目是剪切源侧的顶点，更改后值为1的条目是剪切池侧的顶点。

这次削减的成本正是你的目标。在容量 - a 来自源弧的情况下，穿过切口的那些对应于从0到1的变化。在容量 - a 到 - 吸收弧的过程中，切割对应于从1到0的变化。在容量 - b 弧中，穿过切口的弧对应于从0到1的弧的实例。

Answer 2

我建议你重新制定你的回溯，以便使用动态编程来修剪回溯树。以下是我建议设计它的逻辑：

在决定是否要更改单元格时，分配前一个单元格的方式并不重要，只关注累计成本，因此您可以跟踪每个单元格以及每个可能的累计成本，已找到的最低结果是什么。这样，无论何时再次找到相同的配置，您都将保存答案。

所以你的dp矩阵会是这样的：

dp[top_bound][n][n];

在做回溯之前，你应该这样做：

if(dp[acc_cost][this_i][this_j] != -1)
    return dp[acc_cost][this_i][this_j];

// Perform your calculations
// ...

dp[acc_cost][this_i][this_j] = result;
return result;

这里我假设-1是结果中的无效值，如果不是，您只需选择任何无效值并将矩阵初始化为它。由于此矩阵的大小为n * n * top_bound，因此正确实现的DP应解决O（n * n * top_bound）中的问题。