Question

我偶然发现了

int a = (h/2)*w+ (  (h+1)/2-h/2   )  *  (w+1)/2 ;

等于

int b = (w * h + 1) / 2 ;

当w和h是正整数时（假设没有溢出）。

你能告诉我为什么这两个是一样的吗？

编辑：整数 - ＆gt;正整数。

Answer 1

为了简化表达，您必须考虑四种情况：

h even and w even
h even and w odd
h odd and w even
h odd and w odd

从那里开始，并应用适当的整数截断规则，您应该能够简化为第二个表达式。

Answer 2

实际上这是一个数学问题:(整数）/ 2应该被解释为floor。所以，问题是：

显示floor(h/2)*w + ( floor((h+1)/2) - floor(h/2) ) * floor((w+1)/2)等同于floor((w*h+1)/2)

证明：

h = 2k，w = 2l :(两个数字都是偶数）......
h = 2k + 1，w = 2l：...
h = 2k，w = 2l + 1：......
h = 2k + 1，w = 2k + 1：......

提示：floor((2k+1)/2) == k。您可以轻松显示等效性。

例如，案例4：

a）floor(2k+1/2)*(2l+1) + ( floor((2k+2)/2) - floor((2k+1)/2) ) * floor((2l+2)/2) = 2kl+k + (k+1 - k)*(l+1) = 2kl + k + l + 1

b）floor(((2k+1)*(2l+1)+1)/2) = floor((4kl+2k+2l+2)/2) = 2kl + k + l + 1

因此，这两个方程是等价的。

Answer 3

有趣的是，这个问题说它是平等的，当你测试几个偶数和奇数值时它似乎就是这样。但这很容易枯燥的数学，所以没有人检查所有的情况。我也很懒，而且，即使我更像一个数学家，我还是使用一些复制粘贴进行了快速计算机检查：

bool diff = false;
int n = 100;
for(int w = -n; w<n; ++w){
    for(int h = -n; h<n; ++h){
        int a = (h/2)*w+ (  (h+1)/2-h/2   )  *  (w+1)/2 ;
        int b = (w * h + 1) / 2;
        if (a!=b) diff = true;
    }
}
cout << (diff ? "a != b" : "a == b") << endl;

我发现它不等于w = -1和h = -1，很容易检查a = 0和b = 1.这就是“简单的简化”经常引入新的bug。

PS：公平地说，我猜w和h是宽度和高度，所以它们可能总是正面的。但是没有指定（并且根据经验，其他一些代码可能会返回负宽度）

Answer 4

这是一个直接的数学问题。只需证明以下内容：

（h / 2）* w +（（h + 1）/ 2-h / 2）*（w + 1）/ 2 =（w * h + 1）/ 2

C / C ++整数运算

4 个答案: