Question

我目前正在阅读Simon Thompson的The Craft of Functional Programming，在描述递归时，他还提到了一种名为 Primitive Recursion 的递归形式。

请解释一下这种类型的递归与“正常”递归函数有何不同？

这是一个原始递归函数的例子（在Haskell中）：

power2 n
    | n == 0    = 1
    | n > 0     = 2 * power2(n - 1)

Answer 1

简单的答案是原始递归函数是根据其他原始递归函数定义的函数，以及自然数结构的递归。自然数在概念上是这样的：

data Nat
  = Zero
  | Succ Nat -- Succ is short for 'successor of', i.e. n+1

这意味着您可以像这样递减：

f Zero     = ...
f (Succ n) = ...

我们可以将您的示例写为：

power2  Zero    = Succ Zero    -- (Succ 0) == 1
power2 (Succ n) = 2 * power2 n -- this is allowed because (*) is primitive recursive as well

原始递归函数的组合也是原始的递归。

另一个例子是Fibonacci数字：

fib               Zero   = Zero
fib         (Succ Zero)  = (Succ Zero)
fib (Succ n@(Succ n'  )) = fib n + fib n' -- addition is primitive recursive

Answer 2

原始递归函数是（数学家）对停止问题的自然反应，通过剥夺执行任意无界自递归的能力。

考虑一个“邪恶”的功能

f n
  | n is an odd perfect number = true
  | otherwise = f n+2

f会终止吗？如果不解决是否存在奇数完美数字这一开放性问题，你就无法知道。它能够创建像这样的函数，使停顿问题变得困难。

作为构造的原始递归不允许你这样做;关键是禁止“f n + 2”事物，同时保持尽可能灵活 - 你不能用f（n + 1）来原始递归地定义f（n）。

请注意，仅仅因为函数不是原始递归并不意味着它不会终止;阿克曼的功能是典型的例子。

Answer 3

只能通过do循环实现的递归函数是Primitive递归函数。

Answer 4