Question

如果我有一首颂歌并以两种方式写出来，比如：

function re=rabdab()
x=linspace(0,2000,2000)';
tic;
[T,Y] = ode45(@fun,[x],[0 1 1]);
[T,Y] = ode45(@fun,[x],[0 1 1]);
[T,Y] = ode45(@fun,[x],[0 1 1]);
toc;

tic;
[A,B] = ode45(@fun2,[x],[0 1 1]);
[A,B] = ode45(@fun2,[x],[0 1 1]);
[A,B] = ode45(@fun2,[x],[0 1 1]);
toc;



function dy = fun(t,y)
dy = zeros(3,1);    % a column vector
dy = [y(2) * y(3);...
-y(1) * y(3);...
-0.51 * y(1) * y(2);];

function dy = fun2(t,y)
dy = zeros(3,1);    % a column vector
dy(1) = y(2) * y(3);
dy(2) = -y(1) * y(3);
dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);

时间几乎没有差别。一个人和另一个人一样长。但我认为fun是fun2的矢量化版本。或者我错了？目的是加快我的代码。该示例来自matlab网页。我想我还没有真正明白“矢量化”是什么意思。如果这已经过矢量化，那么非矢量化代码会是什么样的？

Answer 1

Vectorization是一个与functional programming密切相关的概念。在MATLAB中，它意味着对数组（向量或矩阵）执行操作，而不隐式编写循环。

例如，如果要为1到100之间的每个整数f(x) = 2x计算函数x，可以写：

for x = 1:100
    f(x) = 2 * x;
end

不是矢量化代码。矢量化版本是：

x = 1:100; %// Declare a vector of integer values from 1 to 100
f = 2 * x; %// Vectorized operation "*"

甚至更短：

f = 2 * (1:100);

MATLAB是一种解释型语言，所以很明显，解释器将其转换为“引擎盖下”的某种循环，但它经过优化并且通常比实际解释循环要快得多（读取this question以供参考）。嗯，有点像 - 直到最近发布的MATLAB，其中已集成了JIT acceleration（阅读here）。

现在回到你的代码：你在这里有两个代码的矢量化版本：一个垂直连接三个值，另一个直接将这些值分配到列向量中。这基本上是一回事。如果你用一个显式的for循环完成它，这将不会被“矢量化”。关于“向量化”循环的实际性能增益（即，将for循环转换为向量化操作），这取决于for循环实际上由于JIT加速实际上的速度。

似乎没有太多工作要加速你的代码。您的函数非常基本，因此它归结为ode45的内部实现，您无法修改它。

如果您对进一步阅读有关矢量化和编写更快的MATLAB代码感兴趣，请参阅以下文章：Loren on the Art of MATLAB: "Speeding Up MATLAB Applications"。

快乐的编码！

Answer 2

虽然前面的答案在一般情况下是正确的，vectorized 在 ODE 的上下文中意味着更具体的东西。简而言之，对于 f(t,y) 列向量，如果 f(t,[y1 y2 ...]) 返回 [f(t,y1) f(t,y2) ...]，函数 y1,y2 被向量化。根据文档 [1]，“这允许求解器减少计算雅可比矩阵的所有列所需的函数评估次数。”

下面的函数 fun3 和 fun4 在 ODE 意义上被正确矢量化：

function re=rabdab()
x=linspace(0,20000,20000)';
opts=odeset('Vectorized','on');

tic;
[T,Y] = ode45(@fun,[x],[0 1 1]);
[T,Y] = ode45(@fun,[x],[0 1 1]);
[T,Y] = ode45(@fun,[x],[0 1 1]);
toc;

tic;
[A,B] = ode45(@fun2,[x],[0 1 1]);
[A,B] = ode45(@fun2,[x],[0 1 1]);
[A,B] = ode45(@fun2,[x],[0 1 1]);
toc;

tic;
[A,B] = ode45(@fun3,[x],[0 1 1],opts);
[A,B] = ode45(@fun3,[x],[0 1 1],opts);
[A,B] = ode45(@fun3,[x],[0 1 1],opts);
toc;

tic;
[A,B] = ode45(@fun4,[x],[0 1 1],opts);
[A,B] = ode45(@fun4,[x],[0 1 1],opts);
[A,B] = ode45(@fun4,[x],[0 1 1],opts);
toc;


function dy = fun(t,y)
dy = zeros(3,1);    % a column vector
dy = [y(2) * y(3);...
-y(1) * y(3);...
-0.51 * y(1) * y(2);];

function dy = fun2(t,y)
dy = zeros(3,1);    % a column vector
dy(1) = y(2) * y(3);
dy(2) = -y(1) * y(3);
dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);

function dy = fun3(t,y)
dy = zeros(size(y)); % a matrix with arbitrarily many columns, rather than a column vector
dy = [y(2,:) .* y(3,:);...
-y(1,:) .* y(3,:);...
-0.51 .* y(1,:) .* y(2,:);];

function dy = fun4(t,y)
dy = [y(2,:) .* y(3,:);... % same as fun3()
-y(1,:) .* y(3,:);...
-0.51 .* y(1,:) .* y(2,:);];

（顺便说一句：用 zeros 省略不必要的内存分配让 fun4 的运行速度比 fun3 略快。）

问：关于第一个参数的向量化怎么样？
A：对于 ODE 求解器，ODE 函数仅针对第二个参数进行矢量化。然而，边界值问题求解器 bvp4c 确实需要对第一个和第二个参数进行矢量化。 [1]

官方文档 [1] 提供了有关 ODE 特定矢量化的更多详细信息（请参阅“雅可比属性说明”部分）。

[1] https://www.mathworks.com/help/releases/R2015b/matlab/ref/odeset.html

在Octave / Matlab中矢量化ODE

2 个答案: