使用LINQ可以使用一组值来满足一组要求的证明

Question

这是发布here的问题的一个子集。

给定一组体积为B={x1, x2, ..., xn}的桶和一组具有体积为V={v1, v2, ..., vn }的液体的样品瓶，证明桶的数量可以填充样品瓶的内容的最佳方法是什么？假设必须将小瓶倒入一个桶中。允许溢出。

这里有一些明显的不变量，即桶|B|的基数必须小于或等于样品瓶|V|的基数，并且桶Sum(B)的组合体积必须小于或等于样品瓶Sum(V)

的总体积

这是众所周知的计算问题吗？如果可以的话，可以用C＃来表达一个简单的LINQ解决方案吗？

我觉得这是Eric Lippert会写博客的内容; - ）。

Answer 1

考虑这个问题的一个例子，你有两个相同大小的桶，Sum（B）= Sum（V）。这意味着您需要在两个桶上均匀分配样品瓶，否则一个桶会溢出，而另一个桶则不会剩余。这被称为partition problem，并且已知它是NP完全的。

修改 当然，NP完全性并不意味着问题无法解决，只是运行时间将是输入大小的指数（在这种情况下，最大桶大小的log2）。

如果我们能找到填充桶所需的最少量液体（包括溢出），解决问题的方法很简单，每个桶都要这样做，并在每个桶后从可用样品瓶中取出用过的样品瓶

我们可以通过使用动态编程来实现：

• 对于给定的桶b，考虑所有大小为0到桶（b）的桶。
• 0号桶显然不需要液体
• 对于每个尺码s，找一个样品瓶v，以便：
  • s-volume（v）的解决方案不使用v
  • （用于s体积（v）的液体量）+体积（v）被最小化
• 在这一切结束时，您将使用用于填充桶b的样品瓶。然后，您只需从可用样品瓶中取出那些样品，然后转到下一个样品桶。