Pick优化跨越区域的最小元素数

Question

我有一个优化问题。我从来没有学过算法，只教自己python，所以我不确定这是一个难以解决的难题。该问题的非抽象应用是确定使用可用试剂对DNA进行测序的最便宜方式。现在问题是......

有一个圆形区域，比如0-10，其中10个循环回到0.有长度为1的元素，每个元素跨越区域的一部分，最终目标是在覆盖每个位置时最小化元素的数量。我有许多长度为1的元素，但这些元素并不涵盖整个区域。因此，我需要付费添加其他元素。

因此，最终成本将类似于（元素数量）+ 2（购买的元素数量），目标是最小化成本。这是一个容易解决的问题，还是需要付出巨大努力来解决它？

所以在这个例子中，我会选择在2和5.75处添加一个值，并在大约2.5处删除一些值。

Answer 1

我不懂python，但我可以用伪代码帮助你。对于您的约束，这可能不是完全最优，但如果需要，您可以调整它。

让我们假设你的元素有两个属性，begin和end，它们分别定义了X坐标，它们分别是开始和结束！ （即使你的结尾总是开始+ 1。如果一个元素从9.5开始，考虑它以10.5而不是0.5结束）

将所有元素放入数组elem []中，然后先用较低的begin对它们进行排序。复制第一个元素并将其放在数组的末尾，在10和begin坐标上增加end。 （因此它可能会变成类似10.2到11.2的东西）这是为了涵盖问题的循环方面，我们仅将其用于参考，但不计入成本的两倍。

X = 0  (the farthest you have got covered so far)
foreach element i in array, in order, except for last element:
  if elem[i+1].begin <= X
    continue; // this means you dont need the current element, discard it and go to the next iteration of the loop.
  if elem[i].begin <= X
    X = elem[i].end // you will use this element to expand your reach
  else // bad news, you got an empty hole
    add_elements += ceil(elem[i].begin - X)  // ceil = round up to an integer number of elements needed to cover the hole
    X = elem[i].end // you will use this element anyway!

if X < 10 // after the loop ends
  add_elements += ceil(elem[last].begin - X)

你可以重写最后一个if / else只需要一个if，我只是觉得这样会说教更容易理解。

add_elements包含您需要添加的额外元素数量。 ceil()函数是这样的，如果你有一个长度为2.4的连续洞，你知道至少需要3个新元素来修复它。

由于我不知道你需要处理多少元素，因此该算法相当简单快速，O（n logn）的时间复杂度由于初始排序。使用浮点坐标，你不能比这更便宜。

Possibility of improvement: 当您知道有一个洞需要添加要修复的新元素时，可能会在开头和/或结尾丢弃之前拾取的元素一个洞。例如，考虑元素{（0,1），（0.7,1.7），（1.8,2.8），（2,3）}。在第二个和第三个元素之间有一个长度为0.1的孔，但如果你添加一个长度为1的新元素并将其放在1.0和2.0之间，你实际上可以抛弃第二个和第三个元素。