如何使用一组数字和运算符生成所有可能的方程式？

Question

我遇到了数学和编程问题。

给定一组字符{1,2,3,4,5,6,7,8,9,+,-,*,/}。然后使用这组字符在数组中随机生成10（或者说N）个字符，即[1,+,1,∗,3,5,7,8,1]。在那之后，我需要通过使用这个字符数组加上1个字符'='来找到方程式的所有可能性。

因此，在这种情况下，[1,+,1,∗,3,5,7,8,1]类似于以下等式：1*1=1，3+5=8，7+1=8，15=8+7，15+3=18 （也许更多）

它可以形成多位数操作，即15+3=18

所以我的问题是我正在尝试使用程序生成所有方程式。你能不能给我一些想法，哪种算法可以做到？或任何方法吗？

我目前的做法：

我的方法不够快。所以这个想法是，最小等式需要3个数和1个算子。和

1. 我从生成的数组中随机选择4个成员开始。如果这4个成员有一个运营商，
2. 然后我会添加'='
3. 形成所有可能的订单。例如1,1,2，+，我将有112 + =，121 + =，1 = 12 + ....循环所有这些。和
4. 然后增加到5个成员并循环通过它......
5. 直到生成数组的长度

Answer 1

正如评论中已经提到的，这似乎是NP完全的，因此是指数级的，因此它需要真正长，但这就是我要做的事情：

对于输入的每个可能的子集A执行以下操作：

生成A的所有排列。

所以每个排列都对应一个方程式（或者那个类似于方程的东西，但没有=符号）。

现在请注意，会出现很多无效的'等式'。像1**1这样的事情。你需要忽略所有这些。粗略地说，任何以运算符开头或结尾或连续使用2个运算符的任何内容都是无效的（或者可能不是1*-2，-2+1和1--1（？）是有效的（{{1} }和1++1？），但无论如何，我相信你可以解决问题。）

对于每个有效的排列，将评估得到的数字加到一个集合中（好的，一个（多个）数字地图到公式）。

当从输入中删除A时，对剩余项目的所有排列执行相同操作（导致另一个生成集）。

现在，两组中出现的所有数字都是有效的方程式。请注意（由于缺乏解释的愿望），您将对所有具有相同数字的方程式进行CROSS JOIN类似的处理。

我们只生成了两次，一次在左侧，一次在右侧？哎呦。好的，这是一个修复：“为包含该元素的输入的每个可能的子集A选择任何元素......”。

要考虑的事情 - 分离出运营商

优势：可能要快得多（不太确定，甚至可能会慢一些）
缺点：这是更复杂的

预处理输入，删除所有操作符，只需对每个操作符进行计数。

与上面完全相同，但是，对于每个排列，还会生成运算符可以去的所有排列。如果做得好，你应该能够完全避免无效的方程式。

并且还有多个设置来放入数字（所以你将有2套），每个可能允许的每种类型的操作数一个，然后你将与另一组进行比较（在另一组中）一组集合），以便使用所有运算符。

用一个例子来解释：

输入：+1+2

没有操作员的输入：[1,*,1,3,5,7,8,+,+,1]

算：

[1,1,3,5,7,8,1]

示例子集：Operator Count + 2 * 1
它的补充：[1,7,8,1]

现在我们将拥有2x6套，每套可能的运营商组合一套：

[1,3,5]

以上只是示例，显然每个集合中有多于1个等式，您需要考虑运营商可以去的所有地方，例如，考虑 ++* ++ +* + * NONE Subset +1*1+78 11+7+8 1*1+78 117+8 1*178 1178 Complement +3*5+1 3+5+1 3*5+1 35+1 3*51 351 ：

++*

我刚刚考虑了示例的排列+1+1*78 +1+17*8 +11+7*8 1+1+7*8 1*1+7+8 1+1*7+8 etc. 和补集的1178，但是需要添加所有排列（即1187,1718,1781，......和315,513） ，531，......）。

一旦将所有这些添加到集合中，您将按如下方式匹配集合，因此我们使用等式中的所有运算符：

351

为了更好地了解发生的事情，并假设我们在数学上非常糟糕，我们可以说:(取自上面的网格）

Subset      Complement
++*    with NONE
++     with *
+*     with +
+      with +*
*      with ++
NONE   with ++*

现在，您将使用其评估的值匹配方程式（使用有序集将允许您在线性时间内同时逐步执行这两个方程）。所以，假设子集的方程A和B都评估为79，补语的方程C和D也评估为79.现在你将它们匹配如下:(这就是我所说的CROSS JOIN）< / p>

+1*1+78 = 351
11+7+8 = 3*51
1*1+78 = 35+1
etc.

以及（如果你想要这些）：

A = C
A = D
B = C
B = D

我希望澄清它。

Answer 2

作为使用上面的示例集的解决方案的原始黑客，一个算法将直接找到所选数字，运算符和=的所有组合，并且测试例如。

• 所有变体中的所有9加上=（10个字符）。数量为10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 10! = 3,628,800个变体。
• 然后在所有变体中加上8加=（9个字符）。 10×9×8×7×6×5×4×3×2 = 10!÷1!。
• 然后在所有变体中加上7加=（8个字符）。 10×9×8×7×6×5×4×3 = 10!÷2!。
• 等等，直到4加上=（3个数字和2个运算符= 5个字符）的所有变体。 10×9×8×7×6 = 10!÷5!。

此等式为(n+1)!÷0! + (n+1)!÷1! + ... + (n+1)!÷(n-4)!

• 其中n是生成的数字和运算符减去=。

在您的示例中，将存在 9,858,240 潜在等式。值得注意的是，将存在无效的等式，其中=在末端，=和一个运算符在一起等等。所以我是积极的，可以存在更好的。

• 排除结尾的=将减少1,971,648