Question

我一直在研究禁止在def之前使用并且没有可变单元格（没有set!或setq）的语言如何提供递归。我当然遇到了（着名的？臭名昭着的？）Y组合者和朋友，例如：

当我在这种风格中实现“letrec”语义时（也就是说，允许定义一个局部变量使得它可以是一个递归函数，在封面下它不会引用它自己的名字），我最后编写的组合器看起来像这样：

Y_letrec = λf . (λx.x x) (λs . (λa . (f ((λx.x x) s)) a))

或者，将U组合子分解出来：

U = λx.x x
Y_letrec = λf . U (λs . (λa . (f (U s)) a))

将其读作：Y_letrec是一个带有待递归函数f的函数。 f必须是单参数函数，它接受s，其中s是函数 f可以调用以实现自我递归。期望f定义并返回 “内部”功能，执行“真实”操作。内部功能接受参数a（或者在一般情况下是参数列表，但不能表达用传统的表示法）。调用Y_letrec的结果是调用的结果 f，它被认为是一个“内部”函数，准备被调用。

我这样设置的原因是我可以使用的解析树形式即将被递归的函数，无需修改，仅包装附加的处理letrec时转换过程中它周围的功能层。例如，如果原始代码是：

(letrec ((foo (lambda (a) (foo (cdr a))))))

然后转换后的形式将是：

(define foo (Y_letrec (lambda (foo) (lambda (a) (foo (cdr a))))))

请注意，内部函数体在两者之间是相同的。

我的问题是：

我的Y_letrec功能是否常用？
它有一个完善的名字吗？

注意：上面的第一个链接指的是一个类似的功能（在“步骤5”中）作为“applicative-order Y combinator”，虽然我很难找到该命名的权威来源。

更新28-apr-2013：

我意识到上面定义的Y_letrec 非常接近，但与维基百科中定义的Z组合器不完全相同。根据维基百科，Z组合子和“按值调用的Y组合子”是相同的，看起来确实可能更常被称为“应用顺序Y组合子”。

所以，我上面所说的 not 与通常编写的应用顺序Y组合子相同，但几乎可以肯定它们是相关的。以下是我进行比较的方式：

从：

开始

Y_letrec = λf . (λx.x x) (λs . (λa . (f ((λx.x x) s)) a))

应用内在的U：

Y_letrec = λf . (λx.x x) (λs . (λa . (f (s s)) a))

应用外部U：

Y_letrec = λf . (λs . (λa . (f (s s)) a)) (λs . (λa . (f (s s)) a))

重命名以匹配维基百科对Z组合子的定义：

Y_letrec = λf . (λx . (λv . (f (x x)) v)) (λx . (λv . (f (x x)) v))

将此与维基百科的Z组合器进行比较：

Z        = λf . (λx . f (λv . ((x x) v))) (λx . f (λv . ((x x) v)))

显着差异在于应用函数f的位置。有关系吗？尽管有这些差异，这两个功能是否相同？

Answer 1

是的，它是一个应用订单Y组合子。在里面使用U是完全可以的，我也是这样做的（参见fixed point combinator in lisp）。使用U来缩短代码是否有名字，我不这么认为。它只是一个lambda术语的应用，是的，它也使IMO更加清晰。

有什么名称，即eta转换，在您的代码中用于延迟评估的应用顺序，其中在功能应用之前必须知道参数的值。

在你的代码（(λa.(f (s s)) a) ==＆gt; f (s s)）上执行U通过和通过以及eta-reduction，它成为熟悉的正常顺序Y组合子 - 即在正常情况下正常工作-order evaluation，其中在功能应用之前不需要参数值，最终可能不需要它们（或其中一些）：

Y = λf . (λs.f (s s)) (λs.f (s s))

BTW延迟可以稍微不同的方式应用，

Y_ = λf . (λx.x x) (λs.f (λa.(s s) a))

也适用于应用订单评估规则。

有什么区别？让我们比较减少序列。你的版本，

Y_ = λf . (λx . (λv . (f (x x)) v)) (λx . (λv . (f (x x)) v))

((Y_ f) a) = 
  = ((λx . (λv . (f (x x)) v)) (λx . (λv . (f (x x)) v))) a
  = (λv . (f (x x)) v) a    { x := (λx . (λv . (f (x x)) v)) }
  = (f (x x)) a
  = | ; here (f (x x)) application must be evaluated, so 
    | ; the value of (x x) is first determined
    | (x x) 
    | = ((λx . (λv . (f (x x)) v)) (λx . (λv . (f (x x)) v))) 
    | = (λv . (f (x x)) v)     { x := (λx . (λv . (f (x x)) v)) }

并输入此处f。所以在这里，表现良好的函数f接收它的第一个参数，并且它应该不对它做任何事情。所以也许两者完全相同。

但实际上，lambda表达式定义的细节在实际实现时并不重要，因为真正的实现语言将有指针，我们只是操纵它们以正确指向包含表达式主体，而不是它的副本。毕竟，使用铅笔和纸进行Lambda演算，作为文本复制和替换。 lambda演算中的Y组合子仅模拟递归。真正的递归是真的自引用; 接收副本等于自我，通过自我应用（无论多么聪明）。

TL; DR：虽然定义的语言可能没有分配和指针相等等有趣的东西，但我们定义它的语言肯定会有这些，因为我们需要它们来提高效率。至少，它的实现将拥有它们。

另见：fixed point combinator in lisp，尤其是In Scheme, how do you use lambda to create a recursive function?

双层“Y型”组合器。这是常见的吗？这有官方名称吗？

1 个答案: