答案 0 :(得分：77)
以下计算N＆gt;的楼层（sqrt（N））。 0：
x = 2^ceil(numbits(N)/2)
loop:
y = floor((x + floor(N/x))/2)
if y >= x
return x
x = y
这是Crandall＆amp; amp;给出的Newton方法的一个版本。 Pomerance，“素数：计算视角”。您应该使用此版本的原因是那些知道他们正在做什么的人已经证明它正好收敛到平方根的底部，并且它很简单，因此实现错误的概率很小。它也很快（虽然可以构建一个更快的算法 - 但正确地做这个更复杂）。对于非常小的N，正确实现的二进制搜索可以更快，但您也可以使用查找表。
要舍入到 nearest 整数，只需使用上面的算法计算t = floor（sqrt（4N））。如果设置t的最低有效位，则选择x =（t + 1）/ 2;否则选择t / 2。请注意，这是一个平局;你也可以通过查看余数是否为非零（即t ^ 2 == 4N）来向下舍入（或舍入到偶数）。
请注意，您不需要使用浮点运算。事实上，你不应该。该算法应该完全使用整数来实现（特别是，floor（）函数只表示应该使用常规整数除法。）
答案 1 :(得分：37)
根据您的需求，可以使用简单的分治策略。它不会像其他一些方法那样收敛为 fast ，但对于新手来说可能要容易理解。另外，由于它是一个O（log n）算法（每次迭代将搜索空间减半），32位浮点数的最坏情况将是32次迭代。
假设您想要62.104的平方根。你在0和那之间选择一个值，并将其平方。如果方块高于您的数字，则需要专注于小于中点的数字。如果它太低，请专注于那些更高的。
使用真实的数学，你可以永远将搜索空间分成两部分（如果它没有合理的平方根）。实际上，计算机最终会耗尽精度，你会得到近似值。以下C程序说明了这一点：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main (int argc, char *argv[]) {
float val, low, high, mid, oldmid, midsqr;
int step = 0;
// Get argument, force to non-negative.
if (argc < 2) {
printf ("Usage: sqrt <number>\n");
return 1;
}
val = fabs (atof (argv[1]));
// Set initial bounds and print heading.
low = 0;
high = mid = val;
oldmid = -1;
printf ("%4s %10s %10s %10s %10s %10s %s\n",
"Step", "Number", "Low", "High", "Mid", "Square", "Result");
// Keep going until accurate enough.
while (fabs(oldmid - mid) >= 0.00001) {
oldmid = mid;
// Get midpoint and see if we need lower or higher.
mid = (high + low) / 2;
midsqr = mid * mid;
printf ("%4d %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f ",
++step, val, low, high, mid, midsqr);
if (mid * mid > val) {
high = mid;
printf ("- too high\n");
} else {
low = mid;
printf ("- too low\n");
}
}
// Desired accuracy reached, print it.
printf ("sqrt(%.4f) = %.4f\n", val, mid);
return 0;
}
这里有几个运行，所以你希望了解它是如何工作的。对于77：
pax> sqrt 77
Step Number Low High Mid Square Result
1 77.0000 0.0000 77.0000 38.5000 1482.2500 - too high
2 77.0000 0.0000 38.5000 19.2500 370.5625 - too high
3 77.0000 0.0000 19.2500 9.6250 92.6406 - too high
4 77.0000 0.0000 9.6250 4.8125 23.1602 - too low
5 77.0000 4.8125 9.6250 7.2188 52.1104 - too low
6 77.0000 7.2188 9.6250 8.4219 70.9280 - too low
7 77.0000 8.4219 9.6250 9.0234 81.4224 - too high
8 77.0000 8.4219 9.0234 8.7227 76.0847 - too low
9 77.0000 8.7227 9.0234 8.8730 78.7310 - too high
10 77.0000 8.7227 8.8730 8.7979 77.4022 - too high
11 77.0000 8.7227 8.7979 8.7603 76.7421 - too low
12 77.0000 8.7603 8.7979 8.7791 77.0718 - too high
13 77.0000 8.7603 8.7791 8.7697 76.9068 - too low
14 77.0000 8.7697 8.7791 8.7744 76.9893 - too low
15 77.0000 8.7744 8.7791 8.7767 77.0305 - too high
16 77.0000 8.7744 8.7767 8.7755 77.0099 - too high
17 77.0000 8.7744 8.7755 8.7749 76.9996 - too low
18 77.0000 8.7749 8.7755 8.7752 77.0047 - too high
19 77.0000 8.7749 8.7752 8.7751 77.0022 - too high
20 77.0000 8.7749 8.7751 8.7750 77.0009 - too high
21 77.0000 8.7749 8.7750 8.7750 77.0002 - too high
22 77.0000 8.7749 8.7750 8.7750 76.9999 - too low
23 77.0000 8.7750 8.7750 8.7750 77.0000 - too low
sqrt(77.0000) = 8.7750
对于62.104：
pax> sqrt 62.104
Step Number Low High Mid Square Result
1 62.1040 0.0000 62.1040 31.0520 964.2267 - too high
2 62.1040 0.0000 31.0520 15.5260 241.0567 - too high
3 62.1040 0.0000 15.5260 7.7630 60.2642 - too low
4 62.1040 7.7630 15.5260 11.6445 135.5944 - too high
5 62.1040 7.7630 11.6445 9.7037 94.1628 - too high
6 62.1040 7.7630 9.7037 8.7334 76.2718 - too high
7 62.1040 7.7630 8.7334 8.2482 68.0326 - too high
8 62.1040 7.7630 8.2482 8.0056 64.0895 - too high
9 62.1040 7.7630 8.0056 7.8843 62.1621 - too high
10 62.1040 7.7630 7.8843 7.8236 61.2095 - too low
11 62.1040 7.8236 7.8843 7.8540 61.6849 - too low
12 62.1040 7.8540 7.8843 7.8691 61.9233 - too low
13 62.1040 7.8691 7.8843 7.8767 62.0426 - too low
14 62.1040 7.8767 7.8843 7.8805 62.1024 - too low
15 62.1040 7.8805 7.8843 7.8824 62.1323 - too high
16 62.1040 7.8805 7.8824 7.8815 62.1173 - too high
17 62.1040 7.8805 7.8815 7.8810 62.1098 - too high
18 62.1040 7.8805 7.8810 7.8807 62.1061 - too high
19 62.1040 7.8805 7.8807 7.8806 62.1042 - too high
20 62.1040 7.8805 7.8806 7.8806 62.1033 - too low
21 62.1040 7.8806 7.8806 7.8806 62.1038 - too low
22 62.1040 7.8806 7.8806 7.8806 62.1040 - too high
23 62.1040 7.8806 7.8806 7.8806 62.1039 - too high
sqrt(62.1040) = 7.8806
对于49：
pax> sqrt 49
Step Number Low High Mid Square Result
1 49.0000 0.0000 49.0000 24.5000 600.2500 - too high
2 49.0000 0.0000 24.5000 12.2500 150.0625 - too high
3 49.0000 0.0000 12.2500 6.1250 37.5156 - too low
4 49.0000 6.1250 12.2500 9.1875 84.4102 - too high
5 49.0000 6.1250 9.1875 7.6562 58.6182 - too high
6 49.0000 6.1250 7.6562 6.8906 47.4807 - too low
7 49.0000 6.8906 7.6562 7.2734 52.9029 - too high
8 49.0000 6.8906 7.2734 7.0820 50.1552 - too high
9 49.0000 6.8906 7.0820 6.9863 48.8088 - too low
10 49.0000 6.9863 7.0820 7.0342 49.4797 - too high
11 49.0000 6.9863 7.0342 7.0103 49.1437 - too high
12 49.0000 6.9863 7.0103 6.9983 48.9761 - too low
13 49.0000 6.9983 7.0103 7.0043 49.0598 - too high
14 49.0000 6.9983 7.0043 7.0013 49.0179 - too high
15 49.0000 6.9983 7.0013 6.9998 48.9970 - too low
16 49.0000 6.9998 7.0013 7.0005 49.0075 - too high
17 49.0000 6.9998 7.0005 7.0002 49.0022 - too high
18 49.0000 6.9998 7.0002 7.0000 48.9996 - too low
19 49.0000 7.0000 7.0002 7.0001 49.0009 - too high
20 49.0000 7.0000 7.0001 7.0000 49.0003 - too high
21 49.0000 7.0000 7.0000 7.0000 49.0000 - too low
22 49.0000 7.0000 7.0000 7.0000 49.0001 - too high
23 49.0000 7.0000 7.0000 7.0000 49.0000 - too high
sqrt(49.0000) = 7.0000
答案 2 :(得分：15)
计算X的平方根的简单（但不是非常快）的方法：
squareroot(x)
if x<0 then Error
a = 1
b = x
while (abs(a-b)>ErrorMargin)
a = (a+b)/2
b = x/a
endwhile
return a;
示例：squareroot（70000）
a b
1 70000
35001 2
17502 4
8753 8
4381 16
2199 32
1116 63
590 119
355 197
276 254
265 264
正如您所看到的，它定义了平方根的上边界和下边界，并缩小边界直到其大小可以接受。
有更有效的方法，但这个方法说明了这个过程，并且易于理解。
如果使用整数，请注意将Errormargin设置为1，否则就会有无限循环。
答案 3 :(得分：13)
让我指出一种计算倒数平方根1 / sqrt（x）的非常有趣的方法，这是游戏设计世界中的一个传奇，因为它快速令人惊讶。或者等一下，阅读以下帖子：
http://betterexplained.com/articles/understanding-quakes-fast-inverse-square-root/
PS：我知道你只想要平方根，但地震的优雅克服了我的所有阻力：）顺便说一句，上面提到的文章也谈到了某些地方无聊的Newton-Raphson近似。
答案 4 :(得分：9)
当然是近似的;这就是浮点数的数学运算方式。
无论如何，标准方式是Newton's method。这与使用泰勒的系列大致相同，这是另一种立刻想到的方式。
答案 5 :(得分：9)
#!/usr/bin/env python
import decimal
def sqrt(n):
assert n > 0
with decimal.localcontext() as ctx:
ctx.prec += 2 # increase precision to minimize round off error
x, prior = decimal.Decimal(n), None
while x != prior:
prior = x
x = (x + n/x) / 2 # quadratic convergence
return +x # round in a global context
decimal.getcontext().prec = 80 # desirable precision
r = sqrt(12345)
print r
print r == decimal.Decimal(12345).sqrt()
输出：
111.10805551354051124500443874307524148991137745969772997648567316178259031751676
True
答案 6 :(得分：6)
发现了一篇关于Integer Square Roots的精彩文章。
这是一个稍微改进的版本，它出现在那里：
unsigned long sqrt(unsigned long a){
int i;
unsigned long rem = 0;
unsigned long root = 0;
for (i = 0; i < 16; i++){
root <<= 1;
rem = (rem << 2) | (a >> 30);
a <<= 2;
if(root < rem){
root++;
rem -= root;
root++;
}
}
return root >> 1;
}
答案 7 :(得分：6)
这是Facebook等提出的常见访谈问题。我认为在采访中使用牛顿方法并不是一个好主意。如果面试官在你不理解的时候问你牛顿方法的机制怎么办？
我提供了一个基于二进制搜索的Java解决方案，我相信大家都能理解。
public int sqrt(int x) {
if(x < 0) return -1;
if(x == 0 || x == 1) return x;
int lowerbound = 1;
int upperbound = x;
int root = lowerbound + (upperbound - lowerbound)/2;
while(root > x/root || root+1 <= x/(root+1)){
if(root > x/root){
upperbound = root;
} else {
lowerbound = root;
}
root = lowerbound + (upperbound - lowerbound)/2;
}
return root;
}
您可以在此处测试我的代码：leetcode: sqrt(x)
答案 8 :(得分：4)
首先我想到的是：这是一个使用二进制搜索的好地方（受到这个伟大的tutorials的启发。）
要查找vaule的平方根，我们正在number中搜索预测变量所在的(1..value)
这是第一次。我们选择的预测变量是number * number - value > 0.00001。
double square_root_of(double value)
{
assert(value >= 1);
double lo = 1.0;
double hi = value;
while( hi - lo > 0.00001)
{
double mid = lo + (hi - lo) / 2 ;
std::cout << lo << "," << hi << "," << mid << std::endl;
if( mid * mid - value > 0.00001) //this is the predictors we are using
{
hi = mid;
} else {
lo = mid;
}
}
return lo;
}
答案 9 :(得分：4)
我在学校学习的算法可用于计算精确的平方根（如果根是无理数，则可以使用任意大的精度）。它肯定比牛顿的算法慢，但它确切。 假设你想计算531.3025的平方根
首先，您要将从小数点开始的数字分成2位数组：
{5} {31}。{30} {25}
然后：
1）找到第一组的最接近的平方根，该第一组小于或等于第一组的实际平方根：sqrt（{5}）＆gt; = 2.此平方根是最终答案的第一个数字。让我们将我们已经找到的最终平方根的数字表示为B.所以当时B = 2
2）接下来计算{5}和B ^ 2之间的差异：5 - 4 = 1
3）对于所有后续的2位数组，请执行以下操作：
将余数乘以100，然后将其添加到第二组：100 + 31 = 131
找到X - 根的下一个数字，使得131> =（（B * 20）+ X）* X. X = 3.43 * 3 = 129 < 131.现在B = 23.另外因为你在小数点左边没有更多的2位数组，你已经找到了你的最终根的所有整数位。
4）对{30}和{25}重复相同的操作。所以你有：
{30}：131-129 = 2. 2 * 100 + 30 = 230> =（23 * 2 * 10 + X）* X - > X = 0 - > B = 23.0
{25}：230-0 = 230.230 * 100 + 25 = 23025.23025> =（230 * 2 * 10 + X）* X - > X = 5 - > B = 23.05
最终结果= 23.05
这种算法看起来很复杂，但是如果你在纸上使用你在学校学习的“长师”所用的相同符号来做它会更简单，除了你不做除法而是计算平方根。 / p>
答案 10 :(得分：4)
这是使用三角法获得平方根的一种方法。这不是一个远景最快的算法，但它是精确的。代码在javascript中：
var n = 5; //number to get the square root of
var icr = ((n+1)/2); //intersecting circle radius
var sqrt = Math.cos(Math.asin((icr-1)/icr))*icr; //square root of n
alert(sqrt);
答案 11 :(得分：3)
// Fastest way I found, an (extreme) C# unrolled version of:
// http://www.hackersdelight.org/hdcodetxt/isqrt.c.txt (isqrt4)
// It's quite a lot of code, basically a binary search (the "if" statements)
// followed by an unrolled loop (the labels).
// Most important: it's fast, twice as fast as "Math.Sqrt".
// On my pc: Math.Sqrt ~35 ns, sqrt <16 ns (mean <14 ns)
private static uint sqrt(uint x)
{
uint y, z;
if (x < 1u << 16)
{
if (x < 1u << 08)
{
if (x < 1u << 04) return x < 1u << 02 ? x + 3u >> 2 : x + 15u >> 3;
else
{
if (x < 1u << 06)
{ y = 1u << 03; x -= 1u << 04; if (x >= 5u << 02) { x -= 5u << 02; y |= 1u << 02; } goto L0; }
else
{ y = 1u << 05; x -= 1u << 06; if (x >= 5u << 04) { x -= 5u << 04; y |= 1u << 04; } goto L1; }
}
}
else // slower (on my pc): .... y = 3u << 04; } goto L1; }
{
if (x < 1u << 12)
{
if (x < 1u << 10)
{ y = 1u << 07; x -= 1u << 08; if (x >= 5u << 06) { x -= 5u << 06; y |= 1u << 06; } goto L2; }
else
{ y = 1u << 09; x -= 1u << 10; if (x >= 5u << 08) { x -= 5u << 08; y |= 1u << 08; } goto L3; }
}
else
{
if (x < 1u << 14)
{ y = 1u << 11; x -= 1u << 12; if (x >= 5u << 10) { x -= 5u << 10; y |= 1u << 10; } goto L4; }
else
{ y = 1u << 13; x -= 1u << 14; if (x >= 5u << 12) { x -= 5u << 12; y |= 1u << 12; } goto L5; }
}
}
}
else
{
if (x < 1u << 24)
{
if (x < 1u << 20)
{
if (x < 1u << 18)
{ y = 1u << 15; x -= 1u << 16; if (x >= 5u << 14) { x -= 5u << 14; y |= 1u << 14; } goto L6; }
else
{ y = 1u << 17; x -= 1u << 18; if (x >= 5u << 16) { x -= 5u << 16; y |= 1u << 16; } goto L7; }
}
else
{
if (x < 1u << 22)
{ y = 1u << 19; x -= 1u << 20; if (x >= 5u << 18) { x -= 5u << 18; y |= 1u << 18; } goto L8; }
else
{ y = 1u << 21; x -= 1u << 22; if (x >= 5u << 20) { x -= 5u << 20; y |= 1u << 20; } goto L9; }
}
}
else
{
if (x < 1u << 28)
{
if (x < 1u << 26)
{ y = 1u << 23; x -= 1u << 24; if (x >= 5u << 22) { x -= 5u << 22; y |= 1u << 22; } goto La; }
else
{ y = 1u << 25; x -= 1u << 26; if (x >= 5u << 24) { x -= 5u << 24; y |= 1u << 24; } goto Lb; }
}
else
{
if (x < 1u << 30)
{ y = 1u << 27; x -= 1u << 28; if (x >= 5u << 26) { x -= 5u << 26; y |= 1u << 26; } goto Lc; }
else
{ y = 1u << 29; x -= 1u << 30; if (x >= 5u << 28) { x -= 5u << 28; y |= 1u << 28; } }
}
}
}
z = y | 1u << 26; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 26; }
Lc: z = y | 1u << 24; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 24; }
Lb: z = y | 1u << 22; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 22; }
La: z = y | 1u << 20; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 20; }
L9: z = y | 1u << 18; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 18; }
L8: z = y | 1u << 16; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 16; }
L7: z = y | 1u << 14; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 14; }
L6: z = y | 1u << 12; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 12; }
L5: z = y | 1u << 10; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 10; }
L4: z = y | 1u << 08; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 08; }
L3: z = y | 1u << 06; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 06; }
L2: z = y | 1u << 04; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 04; }
L1: z = y | 1u << 02; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 02; }
L0: return x > y ? y / 2 | 1u : y / 2;
}
答案 12 :(得分：2)
使用二进制搜索
public class FindSqrt {
public static void main(String[] strings) {
int num = 10000;
System.out.println(sqrt(num, 0, num));
}
private static int sqrt(int num, int min, int max) {
int middle = (min + max) / 2;
int x = middle * middle;
if (x == num) {
return middle;
} else if (x < num) {
return sqrt(num, middle, max);
} else {
return sqrt(num, min, middle);
}
}
}
答案 13 :(得分：1)
一般来说，整数的平方根（例如2）只能 近似（不是因为浮点运算有问题，而是因为它们是无理数，不能完全计算。）
当然，有些近似值比其他近似值更高。我的意思是，当然，值1.732是3的平方根的更好近似，而不是1.7
您提供的链接上的代码使用的方法是通过第一次近似并使用它来计算更好的近似值。
这称为牛顿方法，您可以使用每个新近似重复计算，直到它足够准确。
事实上，必须某种方式来决定何时停止重复，否则它将永远运行。
通常，当近似值之间的差值小于您决定的值时，您就会停止。
编辑：我认为没有比你已经找到的更简单的实现。
答案 14 :(得分：1)
正如名字所说的那样，但有时“足够接近”是“足够接近”;无论如何，这是一个有趣的阅读。
答案 15 :(得分：0)
一个简单的解决方案，可以使用二进制搜索来处理浮点平方根和任意精度
以红宝石编码
include Math
def sqroot_precision num, precision
upper = num
lower = 0
middle = (upper + lower)/2.0
while true do
diff = middle**2 - num
return middle if diff.abs <= precision
if diff > 0
upper = middle
else diff < 0
lower = middle
end
middle = (upper + lower)/2.0
end
end
puts sqroot_precision 232.3, 0.0000000001
答案 16 :(得分：0)
假设我们正试图找到2的平方根，你就有了 估计为1.5。 我们会说a = 2，x = 1.5。为了计算更好的估计，我们将a除以x。这给出了一个新值y = 1.333333。 但是，我们不能把这作为我们的下一个估计（为什么不呢？）。我们需要将其与之前的估算值进行平均。所以我们的下一个估计是，xx将是（x + y）/ 2或1.416666。
Double squareRoot(Double a, Double epsilon) {
Double x = 0d;
Double y = a;
Double xx = 0d;
// Make sure both x and y != 0.
while ((x != 0d || y != 0d) && y - x > epsilon) {
xx = (x + y) / 2;
if (xx * xx >= a) {
y = xx;
} else {
x = xx;
}
}
return xx;
}
Epsilon确定近似值需要多精确。该函数应该返回满足abs（x * x-a）＆lt; epsilon，其中abs（x）是x的绝对值。
square_root(2, 1e-6)
Output: 1.4142141342163086
答案 17 :(得分：0)
嗯，已经有很多答案了，但这里有我的答案这是最简单的一段代码（对我而言），这里是algorithm。
python 2.7中的代码：
from __future__ import division
val = 81
x = 10
def sqr(data,x):
temp = x - ( (x**2 - data)/(2*x))
if temp == x:
print temp
return
else:
x = temp
return sqr(data,x)
#x =temp
#sqr(data,x)
sqr(val,x)
答案 18 :(得分：-5)
借助内置函数计算数字的平方根
# include"iostream.h"
# include"conio.h"
# include"math.h"
void main()
{
clrscr();
float x;
cout<<"Enter the Number";
cin>>x;
float squreroot(float);
float z=squareroot(x);
cout<<z;
float squareroot(int x)
{
float s;
s = pow(x,.5)
return(s);
}