如何计算R中矩阵的幂

Question

我正在尝试计算以下矩阵的-0.5幂：

S <- matrix(c(0.088150041, 0.001017491 , 0.001017491, 0.084634294),nrow=2)

在Matlab中，结果是（S^(-0.5)）：

S^(-0.5)
ans =
 3.3683   -0.0200
-0.0200    3.4376

Answer 1

> library(expm)
> solve(sqrtm(S))
            [,1]        [,2]
[1,]  3.36830328 -0.02004191
[2,] -0.02004191  3.43755429

Answer 2

过了一段时间，出现了以下解决方案：

"%^%" <- function(S, power) 
   with(eigen(S), vectors %*% (values^power * t(vectors))) 
S%^%(-0.5)

结果给出了预期答案：

              [,1]        [,2]
  [1,]  3.36830328 -0.02004191
  [2,] -0.02004191  3.43755430

Answer 3

矩阵的平方根不一定是唯一的（大多数实数至少有2个平方根，所以它不仅仅是基质）。有多种算法用于生成矩阵的平方根。其他人已经使用expm和特征值显示了这种方法，但Cholesky分解是另一种可能性（参见chol函数）。

Answer 4

为了将此答案扩展到平方根以外，以下函数exp.mat()推广矩阵的“Moore–Penrose pseudoinverse”并允许通过奇异值分解（SVD）计算矩阵的幂运算（甚至适用于非方形矩阵，虽然我不知道何时需要它）。

exp.mat()功能：

#The exp.mat function performs can calculate the pseudoinverse of a matrix (EXP=-1)
#and other exponents of matrices, such as square roots (EXP=0.5) or square root of 
#its inverse (EXP=-0.5). 
#The function arguments are a matrix (MAT), an exponent (EXP), and a tolerance
#level for non-zero singular values.
exp.mat<-function(MAT, EXP, tol=NULL){
 MAT <- as.matrix(MAT)
 matdim <- dim(MAT)
 if(is.null(tol)){
  tol=min(1e-7, .Machine$double.eps*max(matdim)*max(MAT))
 }
 if(matdim[1]>=matdim[2]){ 
  svd1 <- svd(MAT)
  keep <- which(svd1$d > tol)
  res <- t(svd1$u[,keep]%*%diag(svd1$d[keep]^EXP, nrow=length(keep))%*%t(svd1$v[,keep]))
 }
 if(matdim[1]<matdim[2]){ 
  svd1 <- svd(t(MAT))
  keep <- which(svd1$d > tol)
  res <- svd1$u[,keep]%*%diag(svd1$d[keep]^EXP, nrow=length(keep))%*%t(svd1$v[,keep])
 }
 return(res)
}

实施例

S <- matrix(c(0.088150041, 0.001017491 , 0.001017491, 0.084634294),nrow=2)
exp.mat(S, -0.5)
#            [,1]        [,2]
#[1,]  3.36830328 -0.02004191
#[2,] -0.02004191  3.43755429

可以找到其他示例here。