Question

发布回答后续问题

Brian提供了一个答案，建议的解决方案是使用提升和转移。但是，我找不到关于提升和转移的足够的教程信息，知道如何调整他的答案以完成我需要做的事情。

在这里，我在黑暗中工作，并使用作为即插即用模板给出的答案来询问此后续问题。

我的初始代码typedef trivAlg = "{x::sT. x = emS}"中的命令为我提供了一种新类型，它是母类sT的子集。

我有我的会员运营商consts inP :: "sT => sT => bool"，所以在我提升和转移的天真视图中，因为我的monoid_add 0被定义为常数emS::sT，我可以制作这句话(emS::sT) inP emS，我想做这样的事情：

theorem "~((0::trivAlg) inP 0)"

因此，我尝试使用提升来让我的运算符inP使用类型trivAlg，如下所示：

lift_definition inP_trivAlg :: "trivAlg => trivAlg => bool"
  is "% x y. (x inP y)" 
  by simp

theorem "~((0::trivAlg) inP 0)"

theorem "(emS::trivAlg) = emS"

但是，我使用theorem时遇到了类型冲突，因为我对sT和trivAlg类型的使用不兼容。

如果可以添加答案，以告诉我如何让inP使用trivAlg类型，我将不胜感激。或者，也许我已经离开了。

（原始）问题的预备

我的类型sT代表“一切都是一套”。到目前为止，我的所有常量和运算符都是使用单一类型sT定义的。例如，我的空集，成员运算符和union运算符的定义如下：

consts emS :: "sT"
consts inP :: "sT => sT => bool"
consts geU :: "sT => sT"

我现在正在做一些早期调查，看看我是否可以将sT绑定到Groups.thy中的广义群组中。

从HOL document开始，我试图从群组的4.2,4.3和4.4节以及Nat的15.2和15.3节中获取示例。

在这里，我几乎是我的问题，但我不知道我是否在问一个聪明的问题。我想我所知道的是，解决方案可能仅限于语言环境，子语言和解释，而不是类型类。

我一直在寻找locales.pdf和classes.pdf，所以我知道语言环境和类是交织在一起的。我也一直在关注IsarMathLib，看看在那里如何使用区域设置，子区域和解释。

问题

我的问题是，使用我的琐碎代数结构trivAlg，这是一个用typedef定义的新类型，我如何设置类型类，以便我可以使用我的常量，例如上面列出的emS，inP和geU，以及trivAlg类型的元素？

在我列出下面的代码之后，我会在Groups.thy中询问有关特定代码行的一些问题。

守则

typedef trivAlg = "{x::sT. x = emS}"
  by auto

instantiation trivAlg :: zero
begin
definition trivAlg_zero:
  "0 = Abs_trivAlg emS"
instance ..
end

instantiation trivAlg :: monoid_add
begin
definition plus_trivAlg:
  "m + n = (Abs_trivAlg emS)" 
instance proof
  fix n m q :: trivAlg
  show "(n + m) + q = n + (m + q)"
    by(metis plus_trivAlg)
  show "0 + n = n"
    apply(induct n) apply(auto)
    by(metis plus_trivAlg)
  show "n + 0  = n"
    apply(induct n) apply(auto)
    by(metis plus_trivAlg)
qed
end

theorem
  "((n::trivAlg) + m) + q = n + (m + q)"
  by(metis plus_trivAlg)

theorem
  "((0::trivAlg) + 0) = 0"
  by(metis monoid_add_class.add.left_neutral)

关于Groups.thy的后续问题

在Groups.thy的第151到155行，有以下代码：

class semigroup_add = plus +
  assumes add_assoc [algebra_simps, field_simps]: "(a + b) + c = a + (b + c)"

sublocale semigroup_add < add!: semigroup plus proof
qed (fact add_assoc)

没有一个文档可以教我如何使用类，语言环境，子语言和解释，所以我不知道这到底告诉我什么。

如果我想使用Groups.thy中的semigroup_add，我可以选择将其用作类型类还是语言环境？

Answer 1

要在类型trivAlg上获得相应的操作，最简单的方法可能是使用Isabelle的Lifting包;然后，您可以使用Transfer包来证明类实例。这是一个例子：

typedef trivAlg = "{x::sT. x = emS}"
  by auto

setup_lifting type_definition_trivAlg

instantiation trivAlg :: zero
begin
lift_definition zero_trivAlg :: "trivAlg" is "emS" .
instance ..
end

instantiation trivAlg :: monoid_add
begin
lift_definition plus_trivAlg :: "trivAlg => trivAlg => trivAlg"
  is "% x y. emS"
by simp

instance proof
  fix n m q :: trivAlg
  show "(n + m) + q = n + (m + q)"
    by transfer simp
  show "0 + n = n"
    by transfer simp
  show "n + 0  = n"
    by transfer simp
qed
end

Answer 2

如果我不知道语法是什么意思，简单的事情会杀了我，并且学习Isabelle / HOL的很多东西“长时间盯着多个例子”，这并不是说有很多文档没有伊莎贝尔相对于其他证明助理。

在这里，我完成了关于如何实际使用Brian给我的问题。

我的inP实际上是函数in_P :: sT => sT => bool的二进制表示法，这是我想要提升到trivAlg类型的内容，虽然我不确定我刚刚使用了这个术语正确地“抬起”。

从Isabelle user's list，我找到了一个示例，显示了HOL union运算符的解除。同样，我这样抬起in_P：

lift_definition in_P_trivAlg :: "trivAlg => trivAlg => bool"
  is "in_P :: sT => sT => bool" 
  by simp

在我之前的尝试和错误尝试中，我一直在使用我的inP，这只是符号，并且它没有沉没，lift_definition正在引入一个全新的功能。那些事情最终发生在我身上，而不是“反复试验”，我通过智能地使用函数in_P_trivAlg得到了“试验和成功”：

theorem "~(in_P_trivAlg 0 0)"
  by(metis 
    Ax_em 
    in_P_trivAlg.rep_eq 
    zero_trivAlg.rep_eq)

这表示空集不包含自身。这很好，并告诉我，我已经走上正轨，考虑到0被定义为emS，其定义为公理Ax_em，不包含任何元素。

我现在需要弄清楚如何重载我的成员资格运算符表示法\<in>\<^isub>\iota>。到目前为止，重载符号并不重要，因为我需要不重载大多数标准符号，例如\<in>。

看起来我需要重命名定义，例如in_P_trivAlg.rep_eq，我只是从"Can I define multiple names for a theorem?"得到答案。

从RealVector.thy开始，我现在看到使用lemmas命令进行了大量重命名，例如

text {* Recover original theorem names *}

lemmas scaleR_left_commute = real_vector.scale_left_commute
lemmas scaleR_zero_left = real_vector.scale_zero_left
...

如果我没有提供链接的Stackoveflow答案，那么该代码的目的对我没有任何意义。

如何获取typedef类型以从类型类的母类继承运算符

2 个答案: