Question

将除法结果舍入到最接近的整数是pretty simple。但我试图围绕除法的结果，以便后续操作将给出最佳近似值。最好用一个简单的函数来解释：

const int halfbits = std::numeric_limits<unsigned int>::digits / 2;
unsigned x = foo(); // Likely big.
unsigned x_div = x >> halfbits; // Rounded down
unsigned y = x_div * x_div; // Will fit due to division.

我可以通过添加x_div将1<<(halfbits-1)舍入到最近的位置。但由于x²不是线性函数，因此y通常不能正确舍入。是否有一种简单而准确的方法来计算(x*x) >> (halfbits*2)而不使用更大的类型？

我认为向x_div添加3<<(halfbits-3)会改进舍入，但无法证明这是最佳解决方案。此外，这可以推广为xⁿ？

编辑：按照大众的要求，我冒昧地用纯算术术语“翻译”这个问题（这些C改变的东西都不是......）。注意：此后的所有除法都是整数除数，例如13/3将是4 问题：我们无法计算x ^ 2因为x很大，所以我们想要计算（x ^ 2）/（2 ^ N）。
为此，我们计算了 x_div = x / sqrt（2 ^ N）
我们然后平方：
y = x_div * x_div

然而，此结果通常短于(x^2)/(2^N)的确切值，OP建议添加0.5 * sqrt（2 ^ N）或0.375 * sqrt（2 ^ N）以更好地逼近结果。

正如Oli Charlesworth的回答所示，通过将x^2视为（x_hi + x_lo）^ 2，可以更好地获得实际值。

Answer 1

使用x_div截断会导致错误幅度最多为1，而x_div*x_div错误最多可能为1<<(half_digits+2)。

要了解原因，请考虑我们可以如下表达此平方（使用long multplication）：

x * x = (x_lo + x_hi) * (x_lo + x_hi)
      = x_lo^2 + x_hi^2 + 2*x_lo*x_hi

其中x_lo和x_hi分别是x的下半部分和上半部分。通过一些不错的ASCII艺术，我们可以考虑这些是如何排列的：

 MSB     :      :      :     LSB
  +------+------+      :      :
  |    x_hi^2   |      :      :
  +-----++-----++-----+:      :
  :     | 2*x_lo*x_hi |:      :
  :     +------++-----++------+
  :      :      |    x_lo^2   |
  :      :      +------+------+
  :<----------->:      :      :
    Our result

正如我们所看到的，低阶项会影响最终结果中的多个位。

但是，这些术语中的每一个都应该适合原始类型而不会溢出。因此，通过适当的移动和屏蔽，我们可以获得所需的结果。

当然，如果您使用更大的类型，编译器/硬件会为您完成所有操作，因此如果您有选项，则应该这样做。

Answer 2

将TYPE int用于“y”。我想这可以解决目的。

舍入y = x * x到最近

2 个答案: