Question

中看到了这个功能

long modPow(long x, long y)
{
    //Caculates x raised to the y-power modulo MOD
    //in O(log(y)) time by using  repeated squaring
    long r = 1;
    while(y > 0){
        if( (y&1) != 0) {
            r = (r * x) % MOD;
        }
        x = (x * x)%MOD;
        y >>= 1;
    }
    return r;
}

但我对此功能感到困惑，计算x^y%MOD 的模块值;
为什么功能需要x = (x * x)%MOD;？
这对我没有意义。

Answer 1

tl; dr：这是一个优化。

想象一下，x是2，MOD是3.注意，x唯一用于将r乘以x。

现在假设我们正方形x。 x * x = 4.现在，r * 4％3将等于1,2,3,4,5 ......对于r = 1,2,3,4,5 ......哦！它与x是1相同。事实上，如果你将x设置为x * x％3而不是x * x，你会得到相同的结果。

但下一步呢？ 4 * 4 = 16，％3 = 1. 1 * 1 = 1，％3也= 1.因此，无论我们是提前还是迟到或从不修改操作，我们都会陷入相同的残差。

Answer 2

在每次通过下面显示的循环时，低位被移出y，其中y开始为基数x将被提升到的指数

long r = 1;
while(y > 0){
    if( (y&1) != 0) {
        r = (r * x) % MOD;
    }
    x = (x * x)%MOD;
    y >>= 1;
}

例如，如果y = 0b1101或13十进制，那么xʸ = x¹³ = x¹⁺⁴⁺⁸ = x·x⁴·x⁸和if( (y&1) != 0) r = (r * x) % MOD部分会将r乘以x乘以第一个，第三个，当x的当前值是原始值的第一，第四和第八幂时，第四次通过。

请注意，因为(a·b) mod p ≡ ((a mod p)·(b mod p)) mod p，每次乘法后都可以应用mod函数。应用它经常最小化乘法所需的位数。

Answer 3

在@jwpat7的回答中详细说明一下，让我们想一想为什么

(x % MOD)*(x % MOD) ≡ (x*x) % MOD。

对于某些自然人x和x = n*MOD + r n，我们总是可以r为r < MOD（如果x < MOD也隐含x = r 1}}和n = 0）。

现在，我们总是得到x % MOD = (n*MOD + r) % MOD = r，因此我们得到了

(x % MOD)*(x % MOD) = r * r。

另一方面，考虑(x*x) % MOD评估的内容：

x*x = (n*MOD + r)*(n*MOD +r) = n*n*MOD*MOD + 2*n*r*MOD + r*r，因此我们得到(x*x) % MOD = (n*n*MOD*MOD + 2*n*r*MOD + r*r) % MOD = r*r

这就是为什么Patashu说你是早还是晚应用模运算符并不重要，因为余数r实际上与模运算有关，也是唯一的到下一次迭代。

Answer 4

忘记模块化部分一段时间，并问自己，“如何有效地计算n ^为正整数的x ^ n？”您可以用一个乘法计算x ^ 2：x * x。您可以使用两次乘法计算x ^ 3：x ^ 3 = x * x ^ 2。您可以使用两次乘法计算x ^ 4：x ^ 4 = x ^ 2 ^ 2 = x ^ 2 * x ^ 2。您可以通过此递归计算x ^ n：

For even n = 2*m, x^n = (x^2)^m.

For odd n = 2*m + 1, x^n = x * (x^m)^2.

所以，我们得到x ^ 10 as：

x^10 = (x^2)^5
     = x^2 * (x^4)*2

计算x ^ 2，x ^ 4，x ^ 8，x ^ 10，进行4次乘法。

请注意，这是一种很好的通用方法，但不能保证最有效。例如，尝试x ^ 15。这个方法给你x *（x ^ 2）^ 7 = x * x ^ 2 *（x ^ 2）^ 6 = x * x ^ 2 ^（x ^ 4）^ 3 = x ^ x ^ 2 * x ^ 4 *（x ^ 4）^ 2。您计算x ^ 2，x ^ 4，x ^ 8，然后x * x ^ 2 * x ^ 4 * x ^ 8，进行6次乘法。更快

y = x^3 = x * x^2, 2 multiplications.
x^15 = y^5 = y * (y^2)^2, 3 more multiplications,
This is a total of 5 multiplications.

实际上，对于指数n，将一个加法链定义为从1开始到n结束的数字序列，其中列表中的每个数字是序列中前2个数字的总和（您可以重复）

15的算法给出了

1,2,3,6,7,14,15。

较短的是

1,2,3,6,12,15。

事实证明，在计算上难以找到以目标数结束的最短加法链。

为什么此功能有效计算模块化功率值？

4 个答案: