Question

我有兴趣找到第几行pascal三角形（不是特定元素，而是整行本身）。最有效的方法是什么？

我想到了通过总结上面行中相应元素来构造三角形的传统方法：

1 + 2 + .. + n = O(n^2)

另一种方法可能是使用特定元素的组合公式：

c(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

对于行中的每个元素，我想根据计算组合的方式，前一种方法需要更多时间。有什么想法吗？

Answer 1

>>> def pascal(n):
...   line = [1]
...   for k in range(n):
...     line.append(line[k] * (n-k) / (k+1))
...   return line
... 
>>> pascal(9)
[1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1]

这使用以下标识：

C(n,k+1) = C(n,k) * (n-k) / (k+1)

因此，您可以从C(n,0) = 1开始，然后使用此标识计算其余行，每次将前一个元素乘以(n-k) / (k+1)。

Answer 2

单行可以按如下方式计算：

First compute 1.               -> N choose 0
Then N/1                       -> N choose 1
Then N*(N-1)/1*2               -> N choose 2
Then N*(N-1)*(N-2)/1*2*3       -> N choose 3
.....

请注意，您可以通过将一个数字乘以一个数字然后除以另一个数字来计算前一个值的下一个值。

这可以在一个循环中完成。示例python。

def comb_row(n):
   r = 0
   num = n
   cur = 1
   yield cur
   while r <= n:
      r += 1  
      cur = (cur* num)/r
      yield cur
      num -= 1

Answer 3

最有效的方法是：

std::vector<int> pascal_row(int n){
    std::vector<int> row(n+1);
    row[0] = 1; //First element is always 1
    for(int i=1; i<n/2+1; i++){ //Progress up, until reaching the middle value
        row[i] = row[i-1] * (n-i+1)/i;
    }
    for(int i=n/2+1; i<=n; i++){ //Copy the inverse of the first part
        row[i] = row[n-i];
    }
    return row;
}

Answer 4

这是一个在go-lang中实现的快速示例，它从行的外边缘计算并通过单个计算分配两个值的中间工作...

package main

import "fmt"

func calcRow(n int) []int {
    // row always has n + 1 elements
    row := make( []int, n + 1, n + 1 )

    // set the edges
    row[0], row[n] = 1, 1

    // calculate values for the next n-1 columns
    for i := 0; i < int(n / 2) ; i++ {
        x := row[ i ] * (n - i) / (i + 1)

        row[ i + 1 ], row[ n - 1 - i ] = x, x
    }

    return row
}

func main() {
    for n := 0; n < 20; n++ {
        fmt.Printf("n = %d, row = %v\n", n, calcRow( n ))
    }
}

20次迭代的输出大约需要1/4毫秒才能运行...

n = 0, row = [1]
n = 1, row = [1 1]
n = 2, row = [1 2 1]
n = 3, row = [1 3 3 1]
n = 4, row = [1 4 6 4 1]
n = 5, row = [1 5 10 10 5 1]
n = 6, row = [1 6 15 20 15 6 1]
n = 7, row = [1 7 21 35 35 21 7 1]
n = 8, row = [1 8 28 56 70 56 28 8 1]
n = 9, row = [1 9 36 84 126 126 84 36 9 1]
n = 10, row = [1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1]
n = 11, row = [1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1]
n = 12, row = [1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1]
n = 13, row = [1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1]
n = 14, row = [1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1]
n = 15, row = [1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1]
n = 16, row = [1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1]
n = 17, row = [1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1]
n = 18, row = [1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1]
n = 19, row = [1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1]

Answer 5

计算它的一种简单方法是注意下一行的元素可以计算为前一行中两个连续元素的总和。

[1, 5, 10, 10, 5, 1]
[1, 6, 15, 20, 15, 6, 1]

例如6 = 5 + 1，15 = 5 + 10，1 = 1 + 0和20 = 10 + 10。这给出了一个简单的算法来计算前一行的下一行。

def pascal(n):
    row = [1]
    for x in xrange(n):
        row = [l + r for l, r in zip(row + [0], [0] + row)]
    # print row
    return row

print pascal(10)

Answer 6

在Scala编程中：我会这么简单：

def pascal(c: Int, r: Int): Int = c match {
    case 0 => 1
    case `c` if c >= r => 1
    case _ => pascal(c-1, r-1)+pascal(c, r-1)
}

我会在里面称呼它：

for (row <- 0 to 10) {
    for (col <- 0 to row)
        print(pascal(col, row) + " ")
    println()
}

导致：

. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

逐步解释：

第1步： 我们确保如果我们的列是第一个，我们总是返回图1。

第2步： 由于每个第X行都有X列。所以我们这样说;最后一列X大于或等于第X行，然后是返回数字1。

第3步： 否则，我们得到当前一列之前的列的重复pascal和当前一列之前的行的总和;以及该列的pascal和当前行之前的行。

祝你好运。

Answer 7

让我基于Shane的excellent work获得R解决方案。（谢谢，Shane ！。他生成三角形的代码：

pascalTriangle <- function(h) {
  lapply(0:h, function(i) choose(i, 0:i)) 
}

这将允许将三角形存储为列表。然后，我们可以索引所需的任何行。但是，在编制索引时，请添加 1 ！例如，我将抓住最下面一行：

pt_with_24_rows <- pascalTriangle(24)
row_24 <- pt_with_24_rows[25] # add one
row_24[[1]] # prints the row

所以，最后，请相信我有一个Galton Board问题。我面临着任意挑战，要找出聚集在中心的豆类百分比：例如10到15个垃圾箱（25个垃圾箱中）。

sum(row_24[[1]][10:15])/sum(row_24[[1]])

事实证明是 0.7704771 。一切都好！

Answer 8

在pascal三角形中计算行的最有效方法是通过卷积。首先，我们选择第二行（1,1）作为内核，然后为了获得下一行，我们只需要将内核与内核进行卷积。

因此内核与第二行的卷积给出第三行[1 1]*[1 1] = [1 2 1]，第三行的卷积给出第四行[1 2 1]*[1 1] = [1 3 3 1]，依此类推

这是julia-lang中的一个函数（非常类似于matlab）：

function binomRow(n::Int64)
baseVector = [1] #the first row is equal to 1. 
kernel = [1,1]   #This is the second row and a kernel. 
row = zeros(n)
for i = 1 : n
    row = baseVector 
    baseVector = conv(baseVector, kernel) #convoltion with kernel
end
return row::Array{Int64,1}
end

Answer 9

在Ruby中，以下代码将打印出您想要的特定Pascals Triangle行：

def row(n)
  pascal = [1]
  if n < 1
    p pascal
    return pascal
  else
    n.times do |num|
      nextNum = ((n - num)/(num.to_f + 1)) * pascal[num]
      pascal << nextNum.to_i
    end
  end
  p pascal
end

调用row(0)返回[1]，row(5)返回[1, 5, 10, 10, 5, 1]

Answer 10

这是使用VBA动态设计Pascal三角形的另一种最佳和最简单的方法。

`1
11
121
1331
14641`

`Sub pascal()
Dim book As Excel.Workbook
Dim sht As Worksheet
Set book = ThisWorkbook
Set sht = book.Worksheets("sheet1")
a = InputBox("Enter the Number", "Fill")
For i = 1 To a
    For k = 1 To i
        If i >= 2 And k >= 2 Then
            sht.Cells(i, k).Value = sht.Cells(i - 1, k - 1) + sht.Cell(i-  1, k)
        Else
            sht.Cells(i, k).Value = 1
        End If
    Next k
Next i
End Sub`

Answer 11

我使用的是Ti-84 Plus CE

使用 - ＆gt;第6行是商店价值按钮

Forloop syntax is 
:For(variable, beginning, end [, increment])
:Commands
:End

nCr syntax is 
:valueA nCr valueB

列表索引从1开始，这就是我将其设置为R + 1

的原因

N= row
R= column

PROGRAM: PASCAL
:ClrHome
:ClrList L1
:Disp "ROW
:Input N
:For(R,0,N,1)
:N nCr R–>L1(R+1)
:End
:Disp L1

这是我在编程时可以想到的最快的方式（使用ti 84）但是如果你的意思是能够使用笔和纸来计算行，那么只需画出三角形因为做的事实很痛苦！

Answer 12

这是Python中的O（n）空间复杂度解决方案：

def generate_pascal_nth_row(n):
    result=[1]*n
    for i in range(n):
        previous_res = result.copy()
        for j in range(1,i):
            result[j] = previous_res[j-1] + previous_res[j]
    return result

print(generate_pascal_nth_row(6))

Answer 13

要找到第n行-

int res[] = new int[n+1];
res[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++)
   for(int j = i; j > 0; j++)
      res[j] += res[j-1];

Answer 14

class Solution{
    public:
    
    int comb(int n,int r){
        long long c=1;
        for(int i=1;i<=r;i++) {   //calculates n!/(n-r)!
            c=((c*n))/i;  n--;
        }
        return c;
    }

    vector<int> getRow(int n) {  
        vector<int> v;
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            v.push_back(comb(n,i));
        return v;
    }
};

提交有关leet代码https://leetcode.com/submissions/detail/406399031/的邮件的速度超过100％

如何有效地计算pascal三角形中的行？

14 个答案: