Question

我想要反转一个4x4矩阵。我的数字以定点格式存储（确切地说是1.15.16）。

对于浮点运算，我通常只建立伴随矩阵并除以行列式（例如强力解决方案）。到目前为止，这对我有用，但在处理定点数时，由于使用了所有乘法，我得到了不可接受的精度损失。

注意：在定点运算中，我总是丢掉一些最不重要的立即结果。

那么 - 反转矩阵的数值最稳定的方法是什么？我不太关心性能，但简单地说浮点就是放慢我的目标架构。

Answer 1

元回答：它真的是一般的4x4矩阵吗？如果你的矩阵有一个特殊的形式，那么有反向的直接公式可以很快并保持你的操作倒计时。

例如，如果它是来自图形的标准同质坐标变换，例如：

[ux vx wx tx]
[uy vy wy ty]
[uz vz wz tz]
[ 0  0  0  1]

（假设旋转，比例，平移矩阵的组合）

[ux uy uz -dot(u,t)]
[vx vy vz -dot(v,t)]
[wx wy wz -dot(w,t)]
[ 0  0  0     1    ]

（从链接页面中窃取的ASCII矩阵。）

你可能无法在固定点上失去精确度。

如果您的矩阵来自某个域，您知道它的结构更多，那么可能会有一个简单的答案。

Answer 2

我认为答案取决于矩阵的确切形式。具有旋转（基本）的标准分解方法（LU，QR，Cholesky等）在固定点上相当好，特别是对于小的4x4矩阵。请参阅Press等人的“Numerical Recipes”一书。有关这些方法的描述。

This paper提供了一些有用的算法，但不幸的是它背后是付费墙。他们建议使用（旋转）Cholesky分解，其中一些额外的功能太复杂，无法在此处列出。

Answer 3

我想提出Jason S提出的问题：你确定你需要反转你的矩阵吗？这几乎是不必要的。不仅如此，这通常是一个坏主意。如果你需要求解Ax = b，那么直接求解系统在数值上更稳定，而不是将b乘以A逆。

即使你必须为b的许多值反复解决Ax = b，反转A仍然不是一个好主意。你可以因子 A（比如LU分解或Cholesky分解）并保存因子，这样你每次都不会重做那项工作，但每次使用分解时你仍然会解决系统问题。

Answer 4

让我问一个不同的问题：你肯定需要反转矩阵（称之为M），还是需要使用矩阵求逆来求解其他方程？（例如，Mx = b表示已知的M，b）通常还有其他方法可以做到这一点，而不需要明确地计算逆。或者如果矩阵M是时间和函数的函数。它变化缓慢然后你可以计算一次完全逆，＆amp;有迭代的方法来更新它。

Answer 5

要最大限度地减少截断错误和其他不良，请使用“pivoting” - 请参阅“数字配方”中的反转矩阵一章。到目前为止，他们已经找到了最好的解释。

Answer 6

在进行常规算法之前，您可能会考虑加倍到1.31。它会使乘法的数量增加一倍，但是您正在进行矩阵反转，而您所做的任何事情都会与处理器中的乘数相关联。

对于有兴趣找到4x4反转方程的人，您可以使用符号数学包为您解决它们。 TI-89会做到这一点，虽然它需要几分钟。

如果您让我们了解矩阵反转为您做了什么，以及它如何适应您的其余处理，我们可能会建议替代方案。

- 亚当

Answer 7

普通的高斯消除可以很好地发挥作用。

这取决于您正在使用的库/类/结构。您可以查看GSL。

Answer 8

如果矩阵表示仿射变换（只要你没有引入缩放分量，很多时候这就是4x4矩阵的情况），反转就是上3x3旋转部分的转置，最后一列被否定。显然，如果你需要一个通用的解决方案，那么研究高斯消元可能是最简单的。