部分功能与未指定的总功能

Question

假设我有一组A ⊆ nat。我想在Isabelle中建模一个函数f : A ⇒ Y。我可以使用：

1. 部分功能，即类型nat ⇒ Y option或
之一
2. 一个总函数，即nat ⇒ Y类型之一，未指定A以外的输入。

我想知道哪个是“更好”的选择。我看到了几个因素：

• “部分功能”方法更好，因为更容易比较部分功能是否相等。也就是说，如果我想看看f是否等于另一个函数g : A ⇒ Y，那么我只想说f = g。要比较未指定的总函数f和g，我不得不说∀x ∈ A. f x = g x。

• “未指定的总函数”方法更好，因为我不必总是使用构造/解构option类型。例如，如果f是一个指定不足的总函数，x ∈ A，那么我可以说f x，但如果f是部分函数，​​我将不得不说(the ∘ f) x。另一个例子，在部分函数上进行函数组合比在总函数上进行函数组合更为棘手。

对于与此问题相关的具体实例，请考虑以下尝试形式化简单图。

type_synonym node = nat
record 'a graph = 
  V :: "node set"
  E :: "(node × node) set"
  label :: "node ⇒ 'a"

图表包含一组节点，它们之间的边缘关系以及每个节点的label。我们只关心V中节点的标签。那么，label应该是node ⇒ 'a option的部分函数dom label = V，还是应该只是V之外未指定的总函数？

Answer 1

这可能是一个品味的问题，也可能取决于你的用途，所以我只会给你我的个人品味，这将是选项2.总功能。原因是我认为两种方法中的有限量化无论如何都是不可避免的。我认为使用方法1.您会发现处理Option的最简单方法是限制您推理的域（有限量化）。至于图形示例，图形定理总是说类似于V中的所有节点。但正如我所说，这可能是一个品味问题。