{0,1}上的序列数，使得序列至少包含一半

Question

如何计算{0,1}上的序列数，使每个序列至少包含一半？

Answer 1

长度为n的序列总数为2 ^ n。如果n是奇数，那么它们的一半（2 ^（n-1））至少有一半。 对于偶数n，你必须考虑到n！/（（n / 2）！^ 2）序列恰好有一半。所以在这种情况下，我认为你总有 （1/2）*（2 ^ n + n！/（（n / 2）！^ 2））。

Answer 2

假设序列的总长度为n，并且包含n / 2的序列的数量为：

n!/((n/2)!^2)

编辑：

抱歉，我犯了一个错误。我的意思是n!/((n/2)!^2)但不是n!/(2*(n/2)!)。我认为它是combination个问题并使用了以下公式。 （将k替换为n/2）

Answer 3

编辑：当！我们（I）应该经常仔细阅读问题！ 以下涉及枚举0和1的数量相等的序列数！实际问题是零的数量应该小于或等于1的数量!!!

Pierr的公式， n！/（2 *（n / 2）！）几乎是正确的，实际上是 n！/（（n / 2）！*（n / 2）！）

但这可以使用一些解释（双关语;-)）。

n是总长度，我们知道 n必须是偶数，因为问题需要相同数量的0和1。

让我们专注于放置0 。对于长度为n的序列，我们有 n / 2个零位，以放入序列的n个位置之一。我们只需要计算零位，因为在那之后就没有关于一位的选择：所有其他位置都需要1位。

所以... n / 2个零位，对于n个位置 ...有n种方法可以选择第一个位置，然后（n-1）个方法来选择第二个位置（两位不能占据相同的位置）等。 因此，这个选择数量是

  n! / (n/2)!

例如，对于n = 6，我们有

       6 * 5 * 4 choices,  
       which, by multiplying and dividing by (3*2*1) is equivalent to
    =  6 * 5 * 4 * (3 * 2 * 1) / (3 * 2 * 1)   
    =  6! / 3!
    =  n! / (n/2)!  (a)

现在......其中一些选择[在哪里放置第一位，第二位等]，导致相同的组合，因为所有零位都是相同的，因此是否一个把位置x中的“第一”位和位置y中的“第二”位，或第一位称为y，第二位称为x，我们将具有相同的组合。有（n / 2）！排列这些n / 2位的方法。在n = 6的示例中，有3种方式选择“第一”位的位置，第2位的2种方式和最后的0位的1种（即无选择）。那么完整的公式需要是（a）除以（n / 2）!,即：

  n! / (n/2)! * 1/(n/2)! 
= n! / ((n/2)! * (n/2)!)