Question

我试图理解Matlab中的双精度数字。为什么这个1 - 3 *（4/3 - 1）不等于零？

Answer 1

实数4/3不能用双精度（或任何其他二进制浮点格式）表示，因为它不是二元有理数。因此，当您在MATLAB中计算4/3时，您得到的值是舍入到最接近的可表示的双精度数，这正是：

1.3333333333333332593184650249895639717578887939453125

从这个值中减去1是精确的（这是一个众所周知的FP误差分析定理，它可以精确地减去两个因子内的数字），因此4/3 - 1的结果是：< / p>

0.3333333333333332593184650249895639717578887939453125

将这个数字乘以3的结果恰好也是可以表示的：

0.9999999999999997779553950749686919152736663818359375

最后，从1.0中减去也是准确的（根据前面提到的定理）：

0.0000000000000002220446049250313080847263336181640625

因此，计算中只有一个舍入误差源，因为4/3不能表示为double，并且计算的最终结果只是结束了初始错误。

Answer 2

在科学计算器上运行 - log ₂（2.2204e-16） - 产生（差不多）-52。换句话说，Matlab在double中存储52位精度，另外5位用于指数（4 +符号），一位用于有效数的符号。这与IEEE 754实现一致：有效数字为53位（52 +符号），指数为5位。一切都很好！与往常一样，您应该测试两个浮点数是否足够接近，而不是它们是否完全相等。 Matlab中的一个恰当的例子如下：

if abs(x - y) < 1e-15
      % Some code to execute when x and y are approximately equal
else
      % Some other code
end

遵守IEEE 754的声明来自the wikipedia article。

Answer 3

问题始于4/3的计算。确切的答案既不能表示有限数量的十进制数字，也不能表示有限数量的比特。结果将存储为4/3+r，其中r是一个小的绝对值有符号数，表示4/3的实际值与最接近的IEEE 754 64位二进制浮点数之间的差值，为4/3，即舍入误差。

在1/3+r中减去1个结果。乘以3获得1+3r。从1中减去-3r。

最终结果是原始表示形式4/3中的舍入误差的-3倍。

在Matlab中解释1 - 3 *（4/3 - 1）= 2.2204e-16

3 个答案: