算法运行时间

Question

嗨，这是考试复习中的一个问题。我必须找到以下代码片段的运行时间（在Big-O中）。

sum = 0; 
for( i = 0; i < n; i++ ) 
 for( j = 0; j < i * i; j++ ) 
  for ( k = 0; k < j; k++ ) 
    ++sum; 

我认为它是O（n ^ 4）。最里面的循环执行到n，第二个执行到n ^ 2，最外面的循环执行n次。谢谢大家的帮助

Answer 1

不，不是O（4）。

更好的方法是计算循环执行的次数（事实上，这就是代码正在执行的操作）。

sum（sum（sum（1，k = 0..j），j = 0..i * i），i = 0..n）

= sum（sum（j，j = 0..i * i），i = 0..n）= sum（i * i *（i * i + 1）/2,i=0..n ） 它是sum（i ^ 4，i = 0..n）的数量级，它是n ^ 5的数量级。

基本上因为中间循环是i * i并且正在为每个最内循环执行它需要计算一个额外的时间。

在C ++中

http://codepad.org/nKJ9IUnt

1 0
2 0
3 6
4 42
5 162
6 462
7 1092
8 2268
9 4284
10 7524
11 12474
12 19734
13 30030
14 44226
15 63336
16 88536
17 121176
18 162792
19 215118

您可以使用此表并计算有限差分（取导数），直到结果为常数或0.您将发现需要5个导数才能得到常量列表。这意味着列表的大小为n ^ 5。

例如，如果我们有一个列表，其中两个元素之间的每个差异都是常量，那么列表可以用线性函数表示。如果差异的差异是恒定的那么它将是一个四边形等等（它与低阶项无关，因为它们被衍生物/差异翻译）

Answer 2

正式地，使用Sigma Notation将有助于精确推断增长的顺序。

Answer 3

你可以简单地思考：

In the first loop: i = n
second loop: j = i*i => j = n^2
third loop: k = j => k = n^2
So, the bigO = n * n^2 * n^2 = n^5