给出两个数字M和N.令qi是i * N / M的整数部分。从0到M-1，qi的总和是多少。 O（M）是显而易见的方法。这可以在更短的时间内完成，如果存在一些更简单的简化表达式，可能是O（1）吗？
答案 0 :(得分：3)
有趣的问题。 （这篇文章会让我希望我们在SO上有数学格式......）
我的方法是将问题写成
∑i floor(i*N/M) = ∑i i*N/M - ∑i [i*N/M]
其中[]是“小数部分”运算符（即[1.3] = 0.3，[6] = 0等）。
然后，前半部分很简单：它是一个正常的算术序列和乘以N/M，因此它总和为N*(M-1)/2。下半场比较棘手，但是你会明白为什么将它与上半场分开是至关重要的。
让k = gcd(N, M)。然后，让n = N/k和m = M/k，让后半部分为∑i [i*n/m]。至关重要的是，n和m现在相对来说是素数。 i的总和从0到M-1 = km-1。我们可以将i拆分为m的倍数，将剩余部分拆分为i = qm + r，以便总和现在
∑q ∑r [r*n/m]
其中q总和从0到k-1和r总和从0到m-1。现在是关键步骤：因为n和m是相对素数，r*n的序列r = 0..m-1是0, 1, 2, 3, ..., m-1的{em>置换 } mod m 。因此，序列[r*n/m]是0/m, 1/m, 2/m, ..., (m-1)/m的排列，因此∑r [r*n/m] = ∑r r/m = m*(m-1)/2/m = (m-1)/2。因此，整个总和折叠为k * (m-1)/2 = (km - k) / 2 = (M - k) / 2。
最后，我们将两半结合起来：N*(M-1)/2 - (M-k)/2 = (NM - N - M + k)/2。
因此，期望的总和是(NM - N - M + gcd(N, M))/2。使用Euclid算法可以relatively quickly计算GCD，因此计算速度相当快。
答案 1 :(得分：0)
在我看来，你试图将0N / M + 1N / M + 2N / M + 3N / M ......（M-1）N / M加起来。如果是这样，你有（0 + 1 + 2 + 3 ... +（M-1））N / M.您可以在O（1）中解决这个问题，因为（0 + 1 + 2 + 3 + ... +（M-1））是M *（M-1）/ 2。 M取消，你得到（M-1）N / 2.