Question

我想计算N的确切值！ mod 2 ^ 32。 N可以高达2 ³¹

任何语言都可以，但我希望详细解释算法。时间限制是＆lt; 1秒

Answer 1

在python中：

if n > 33:
  return 0
else
  return reduce(lambda x, y: x*y, range(1, n+1)) % 2**32

理由：

我们知道34！可以被2 ³²整除，因为在序列中：

1 * 2 * 3 * 4 * ... * 34

有：

17 multiples of 2
 8 multiples of 4
 4 multiples of 8
 2 multiples of 16
 1 multiple  of 32
--
32 multiplications by 2

这是每个较大因子的一个因子，因此所有较大的因子都是0 mod 2 ³²

对于小的N值，如果你没有可用的bignum算法，你可以进行单独的乘法mod 2 ³²，和/或你可以在factorial中预先计算2的幂，这很容易计算（见上文）。

Answer 2

正常计算阶乘（乘以数字1,2,3，...），在每次乘法后执行模数。这将为您提供N的小值的结果。

对于N的较大值，请执行相同操作。很快，您的中间结果将为0，然后您可以立即停止循环并返回0。您停止的时间点相对较快：对于N == 64，结果将为0，因为1..64的乘积包含32个偶数，因此可被2^32整除。你得到0的N的实际最小值将小于64。

Answer 3

通常，您可以使用大多数编程语言中可用的整数类型（int，long）来实现模数为2的小功率而无需bignums或模块缩减的算法。对于modulo 2 ³²，您将使用32位int。 "Integer overflow" takes care of the modular arithmetic.

在这种情况下，由于只有34个不同的结果，因此查找表可能比计算阶乘更快，假设经常使用阶乘以使表加载到CPU缓存中。执行时间将以微秒为单位进行测量。

Answer 4

当乘以2个任意长度的数字时，低位总是精确的，因为它不依赖于高位。 Modulo 2 ⁿ也是一种特殊情况，因为通过AND操作获得模数非常容易。 Modulo 2 ³²更加特殊，因为对于32位无符号类型，C中的所有无符号运算都减少了模2 ³²，因此您不需要更宽的类型。

所以你可以乘以数字并忽略溢出，然后在AND之后用2 ³² - 1来获得模数，这实际上是在做C中的正常非加宽乘法（即结果与操作数大小相同，而不是宽度的两倍）

unsigned int p = 1;
for (unsigned int i = 1; i <= n; i++)
    p *= i;
return p;

如果您的语言不像C那样减少模数学，那么您需要在for循环中使用

p = (p * i) & 0xffffffff;

Answer 5

计算模数是一种非常快速的运算，尤其是2的幂的模。相比之下，乘法是非常昂贵的。最快的算法会将素数中的因子因子分解（由于数字小于33，因此非常快）。通过将所有这些相乘，将每个乘法之间的模数乘以大数字来获得结果。

例：计算10！ mod 2 ** 32：使用de Polignac的公式，得到10的素因子！它给你：

10！ = 7 * 5 * 5 * 3 * 3 * 3 * 3 * 2 ......

这会比基本算法更快，因为计算（29！mod 2 ** 32）X 30 比乘以5,3和2要困难得多，并且每次都取模数。