Question

我正在研究一个整数序列，它没有相同的数字（不失一般性，我们假设序列是1,2,...,n的一个排列）到它的自然递增顺序（即1,2,...,n）。我正在考虑直接交换元素（无论元素的位置如何;换句话说，交换对任何两个元素都有效），交换次数最少（以下可能是一个可行的解决方案）：

使用约束交换两个元素，使其中一个或两个都应交换到正确的位置。直到每个元素都放在正确的位置。

但我不知道如何在数学上证明上述解决方案是否是最优的。有人可以帮忙吗？

Answer 1

我能用graph-theory证明这一点。可能想在以下内容中添加该标记：）

创建一个包含n个顶点的图表。如果位置n_i中的元素按正确顺序排列在n_j位置，则从节点i创建边j。现在，您将拥有一个由几个非交叉循环组成的图形。我认为正确订购图表所需的最小交换次数是

M = sum (c in cycles) size(c) - 1

花点时间说服自己...如果两个项目在一个周期中，一个交换可以照顾它们。如果一个循环中有三个项目，您可以交换一对以将其中一个放在正确的位置，并保留两个循环，等等。如果n个项目处于循环中，则需要n-1掉期。（即使你不与邻居交换也是如此。）

鉴于此，您现在可以看到为什么您的算法是最优的。如果您进行交换并且至少有一个项目位于正确的位置，那么它将始终将M的值减少1.对于任何长度为n的周期，请考虑将元素交换为正确的现场，被邻居占领。您现在拥有一个正确排序的元素，以及一个长度为n-1的循环。

由于M是最小交换次数，并且您的算法每次交换时总是将M减少1，因此它必须是最佳的。

Answer 2

供您参考，这是我编写的算法，用于生成排序数组所需的最小交换次数。它找到了@Andrew Mao所描述的周期。

/**
 * Finds the minimum number of swaps to sort given array in increasing order.
 * @param ar array of <strong>non-negative distinct</strong> integers. 
 *           input array will be overwritten during the call!
 * @return min no of swaps
 */
public int findMinSwapsToSort(int[] ar) {
    int n = ar.length;
    Map<Integer, Integer> m = new HashMap<>();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        m.put(ar[i], i);
    }
    Arrays.sort(ar);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        ar[i] = m.get(ar[i]);
    }
    m = null;
    int swaps = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int val = ar[i];
        if (val < 0) continue;
        while (val != i) {
            int new_val = ar[val];
            ar[val] = -1;
            val = new_val;
            swaps++;
        }
        ar[i] = -1;
    }
    return swaps;
}

Answer 3

Swift 4版本：

func minimumSwaps(arr: [Int]) -> Int {

      struct Pair {
         let index: Int
         let value: Int
      }

      var positions = arr.enumerated().map { Pair(index: $0, value: $1) }
      positions.sort { $0.value < $1.value }
      var indexes = positions.map { $0.index }

      var swaps = 0
      for i in 0 ..< indexes.count {
         var val = indexes[i]
         if val < 0 {
            continue // Already visited.
         }
         while val != i {
            let new_val = indexes[val]
            indexes[val] = -1
            val = new_val
            swaps += 1
         }
         indexes[i] = -1
      }
      return swaps
}

Answer 4

我真的很喜欢@Ieuan Uys在Python中的解决方案。

我对他的解决方案有所改进；

虽然循环减少了一个，以提高速度； while i < len(a) - 1
交换功能被解封装为单一功能。
添加了广泛的代码注释以提高可读性。

我在python中的代码。

def minimumSwaps(arr):
    #make array values starting from zero to match index values. 
    a = [x - 1 for x in arr] 

    #initialize number of swaps and iterator.
    swaps = 0
    i = 0

    while i < len(a)-1:
        if a[i] == i:
            i += 1
            continue

        #swap.
        tmp = a[i] #create temp variable assign it to a[i]
        a[i] = a[tmp] #assign value of a[i] with a[tmp]
        a[tmp] = tmp #assign value of a[tmp] with tmp (or initial a[i])

        #calculate number of swaps.
        swaps += 1

    return swaps

有关大小为n的数组上的代码的详细说明；

我们逐一检查数组中除最后一个（n-1个迭代）以外的每个值。如果该值与数组索引不匹配，则将其发送到索引值等于其值的位置。例如，如果a [0] =3。则此值应与a [3]交换。交换a [0]和a [3]。值3将位于应该为的[a] 3处。一个值发送到它的位置。我们还有n-2次迭代。我对现在的[0]不感兴趣。如果在该位置不为0，则它将被另一个值交换。由于另一个值也存在于错误的位置，因此while循环可以识别出该值。

真实示例

a[4, 2, 1, 0, 3]
#iteration 0, check a[0]. 4 should be located at a[4] where the value is 3. Swap them. 
a[3, 2, 1, 0, 4] #we sent 4 to the right location now.  
#iteration 1, check a[1]. 2 should be located at a[2] where the value is 1. Swap them. 
a[3, 1, 2, 0, 4] #we sent 2 to the right location now.  
#iteration 2, check a[2]. 2 is already located at a[2]. Don't do anything, continue. 
a[3, 1, 2, 0, 4] 
#iteration 3, check a[3]. 0 should be located at a[0] where the value is 3. Swap them. 
a[0, 1, 2, 3, 4] #we sent 0 to the right location now.  
# There is no need to check final value of array. Since all swaps are done.

Answer 5

@bekce完成的解决方案很好。如果使用C＃，设置修改后的数组ar的初始代码可以简洁地表示为：

var origIndexes = Enumerable.Range(0, n).ToArray();
Array.Sort(ar, origIndexes);

然后在代码的其余部分使用origIndexes代替ar。

Answer 6

//假设我们只处理从零开始的序列

function minimumSwaps(arr) {
    var len = arr.length
    var visitedarr = []
    var i, start, j, swap = 0
    for (i = 0; i < len; i++) {
        if (!visitedarr[i]) {
            start = j = i
            var cycleNode = 1
            while (arr[j] != start) {
                j = arr[j]
                visitedarr[j] = true
                cycleNode++
            }
            swap += cycleNode - 1
        }
    }
    return swap
}

Answer 7

嗯，所有循环计数都很难掌握。有一种方法更容易记住。

首先，让我们手动扔一个样品盒。

序列： [7、1、3、2、4、5、6]
枚举它： [（0，7），（1，1），（2，3），（3，2），（4，4），（5，5），（6，6 ）]
按值排序枚举： [（1，1），（3，2），（2，3），（4，4），（5，5），（6，6），（ 0，7）]
从头开始。尽管索引与枚举索引不同，但继续交换由索引和枚举索引定义的元素。请记住：swap(0,2);swap(0,3)与swap(2,3);swap(0,2)相同
- swap(0, 1) => [（3，2），（1，1），（2，3），（4，4），（ 5，5），（6，6），（0，7）]
- swap(0, 3) => [（4，4），（1，1），（2，3），（3，2），（ 5，5），（6，6），（0，7）]
- swap(0, 4) => [（5，5），（1，1），（2，3），（3，2），（4，4） ，（6、6），（0、7）]
- swap(0, 5) => [（6，6），（1，1），（2，3），（3，2），（4，4），（5，5），（0，7）]
- swap(0, 6) => [（0，7），（1，1），（2，3），（3，2），（4，4），（5 ，5），（6，6）]

即从语义上来说，您可以对元素进行排序，然后找出如何通过交换不适当位置的最左边的项将它们置于初始状态。

Python算法非常简单：

def swap(arr, i, j):
    tmp = arr[i]
    arr[i] = arr[j]
    arr[j] = tmp


def minimum_swaps(arr):
    annotated = [*enumerate(arr)]
    annotated.sort(key = lambda it: it[1])

    count = 0

    i = 0
    while i < len(arr):
        if annotated[i][0] == i:
            i += 1
            continue
        swap(annotated, i, annotated[i][0])
        count += 1

    return count

因此，您无需记住访问的节点，也无需计算周期长度。

Answer 8

使用Java语言

如果数组的计数以1开头

 1. ssh-add -l ==> The agent has no identities.
 2. ssh-add -l -E md5 ==> The agent has no identities.

否则将以0开头输入

function minimumSwaps(arr) {
   var len = arr.length
    var visitedarr = []
    var i, start, j, swap = 0
    for (i = 0; i < len; i++) {
        if (!visitedarr[i]) {
            start = j = i
            var cycleNode = 1
            while (arr[j] != start + 1) {
                j = arr[j] - 1
                visitedarr[j] = true
                cycleNode++
            }
            swap += cycleNode - 1
        }
    }
    return swap
}

只需为当前HackerEarth输入扩展Darshan Puttaswamy代码

Answer 9

找出排列 1..N 排列所需的最小交换次数。

我们可以使用我们知道的排序结果：1..N，这意味着我们实际上不必进行交换，只需计算它们即可。

1..N 的 shuffling 被称为置换，由不相交的循环置换组成，例如 1..6 的这个置换：

1 2 3 4 5 6
6 4 2 3 5 1

由循环排列 (1,6)(2,4,3)(5) 组成

1->6(->1) cycle: 1 swap
2->4->3(->2) cycle: 2 swaps
5(->5) cycle: 0 swaps

所以 k 个元素的循环需要 k-1 次交换才能排序。

由于我们知道每个元素“属于”的位置（即值 k 属于位置 k-1），我们可以轻松地遍历循环。从 0 开始，我们得到 6，它属于 5，然后我们找到了 1，它属于 0，我们又回到了起点。

为了避免以后重新计算一个周期，我们会跟踪哪些元素被访问过 - 或者您可以执行交换，以便在您以后访问它们时元素位于正确的位置。

结果代码：

def minimumSwaps(arr):
    visited = [False] * len(arr)
    numswaps = 0
    for i in range(len(arr)):
        if not visited[i]:
            visited[i] = True
            j = arr[i]-1
            while not visited[j]:
                numswaps += 1
                visited[j] = True
                j = arr[j]-1
    return numswaps

Answer 10

Apple Swift版本5.2.4

func minimumSwaps(arr: [Int]) -> Int {
    var swapCount = 0
    var arrayPositionValue = [(Int, Int)]()
    var visitedDictionary = [Int: Bool]()
    
    for (index, number) in arr.enumerated() {
        arrayPositionValue.append((index, number))
        visitedDictionary[index] = false
    }
    
    arrayPositionValue = arrayPositionValue.sorted{ $0.1 < $1.1 }

    for i in 0..<arr.count {
        var cycleSize = 0
        var visitedIndex = i

        while !visitedDictionary[visitedIndex]! {
            visitedDictionary[visitedIndex] = true
            visitedIndex = arrayPositionValue[visitedIndex].0
            cycleSize += 1
        }

        if cycleSize > 0 {
            swapCount += cycleSize - 1
        }
    }

    return swapCount
}

Answer 11

使用Javascript解决方案。

首先，将所有元素设置为需要排序的当前索引，然后遍历地图以仅对需要交换的元素进行排序。

function minimumSwaps(arr) {
  const mapUnorderedPositions = new Map()
  for (let i = 0; i < arr.length; i++) {
    if (arr[i] !== i+1) {
      mapUnorderedPositions.set(arr[i], i)
    }
  }

  let minSwaps = 0
  while (mapUnorderedPositions.size > 1) {
    const currentElement = mapUnorderedPositions.entries().next().value
    const x = currentElement[0]
    const y = currentElement[1]

    // Skip element in map if its already ordered
    if (x-1 !== y) {
      // Update unordered position index of swapped element
      mapUnorderedPositions.set(arr[x-1], y)

      // swap in array
      arr[y] = arr[x-1]
      arr[x-1] = x

      // Increment swaps
      minSwaps++
    }

    mapUnorderedPositions.delete(x)
  }


  return minSwaps
}

如果您输入类似7 2 4 3 5 6 1的信息，这将是调试的过程：

Map { 7 => 0, 4 => 2, 3 => 3, 1 => 6 }
currentElement [ 7, 0 ]
swapping 1 with 7
[ 1, 2, 4, 3, 5, 6, 7 ]

currentElement [ 4, 2 ]
swapping 3 with 4
[ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ]

currentElement [ 3, 2 ]
skipped

minSwaps = 2

Answer 12

def swap_sort(arr)
  changes = 0
  loop do
    # Find a number that is out-of-place
    _, i = arr.each_with_index.find { |val, index| val != (index + 1) }
    if i != nil
      # If such a number is found, then `j` is the position that the out-of-place number points to.
      j = arr[i] - 1

      # Swap the out-of-place number with number from position `j`.
      arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]

      # Increase swap counter.
      changes += 1
    else
      # If there are no out-of-place number, it means the array is sorted, and we're done.
      return changes
    end
  end
end

Answer 13

这是@Archibald已经解释的Java解决方案。

    static int minimumSwaps(int[] arr){
        int swaps = 0;
        int[] arrCopy = arr.clone();
        HashMap<Integer, Integer> originalPositionMap
                = new HashMap<>();
        for(int i = 0 ; i < arr.length ; i++){
            originalPositionMap.put(arr[i], i);
        }

        Arrays.sort(arr);
        for(int i = 0 ; i < arr.length ; i++){
            while(arr[i] != arrCopy[i]){
                //swap
                int temp = arr[i];
                arr[i] = arr[originalPositionMap.get(temp)];
                arr[originalPositionMap.get(temp)] = temp;
                swaps += 1;
            }
        }
        return swaps;
    }

Answer 14

@Archibald，我喜欢您的解决方案，这是我最初的假设，即对数组进行排序将是最简单的解决方案，但是我不认为需要像我所说的那样进行反向遍历它，即枚举然后对数组排序，然后计算枚举的交换。

我发现从数组中的每个元素中减去1，然后计算对列表进行排序所需要的交换次数

这是我的调整/解决方案：

def swap(arr, i, j):
    tmp = arr[i]
    arr[i] = arr[j]
    arr[j] = tmp

def minimum_swaps(arr):

    a = [x - 1 for x in arr]

    swaps = 0
    i = 0
    while i < len(a):
        if a[i] == i:
            i += 1
            continue
        swap(a, i, a[i])
        swaps += 1

    return swaps

关于证明最优性，我认为@arax有一个好处。

Answer 15

Python代码

A = [4,3,2,1]
count = 0
for i in range (len(A)):
    min_idx = i
    for j in range (i+1,len(A)):
        if A[min_idx] > A[j]:
            min_idx = j
    if min_idx > i:
        A[i],A[min_idx] = A[min_idx],A[i]
        count = count + 1
print "Swap required : %d" %count

Answer 16

我们不需要交换实际元素，只需查找正确索引（Cycle）中没有多少个元素。最小掉期将为周期-1；这是代码...

static int minimumSwaps(int[] arr) {
        int swap=0;
        boolean visited[]=new boolean[arr.length];

        for(int i=0;i<arr.length;i++){
            int j=i,cycle=0;

            while(!visited[j]){
                visited[j]=true;
                j=arr[j]-1;
                cycle++;
            }

            if(cycle!=0)
                swap+=cycle-1;
        }
        return swap;


    }

Answer 17

Swift 4.2：

func minimumSwaps(arr: [Int]) -> Int {
    let sortedValueIdx = arr.sorted().enumerated()
        .reduce(into: [Int: Int](), { $0[$1.element] = $1.offset })

    var checked = Array(repeating: false, count: arr.count)
    var swaps = 0

    for idx in 0 ..< arr.count {
        if checked[idx] { continue }

        var edges = 1
        var cursorIdx = idx
        while true {
            let cursorEl = arr[cursorIdx]
            let targetIdx = sortedValueIdx[cursorEl]!
            if targetIdx == idx {
                break
            } else {
                cursorIdx = targetIdx
                edges += 1
            }
            checked[targetIdx] = true
        }
        swaps += edges - 1
    }

    return swaps
}

Answer 18

使用Java（和测试）对具有原始类型的整数的实现。

import java.util.Arrays;

public class MinSwaps {
  public static int computate(int[] unordered) {
    int size = unordered.length;
    int[] ordered = order(unordered);
    int[] realPositions = realPositions(ordered, unordered);
    boolean[] touchs = new boolean[size];
    Arrays.fill(touchs, false);
    int i;
    int landing;
    int swaps = 0;

    for(i = 0; i < size; i++) {
      if(!touchs[i]) {
        landing = realPositions[i];

        while(!touchs[landing]) {
          touchs[landing] = true;
          landing = realPositions[landing];

          if(!touchs[landing]) { swaps++; }
        }
      }
    }

    return swaps;
  }

  private static int[] realPositions(int[] ordered, int[] unordered) {
    int i;
    int[] positions = new int[unordered.length];

    for(i = 0; i < unordered.length; i++) {
      positions[i] = position(ordered, unordered[i]);
    }

    return positions;
  }

  private static int position(int[] ordered, int value) {
    int i;

    for(i = 0; i < ordered.length; i++) {
      if(ordered[i] == value) {
        return i;
      }
    }

    return -1;
  }

  private static int[] order(int[] unordered) {
    int[] ordered = unordered.clone();
    Arrays.sort(ordered);

    return ordered;
  }
}

测试

import org.junit.Test;

import static org.junit.Assert.assertEquals;

public class MinimumSwapsSpec {
  @Test
  public void example() {
    // setup
    int[] unordered = new int[] { 40, 23, 1, 7, 52, 31 };

    // run
    int minSwaps = MinSwaps.computate(unordered);

    // verify
    assertEquals(5, minSwaps);
  }

  @Test
  public void example2() {
    // setup
    int[] unordered = new int[] { 4, 3, 2, 1 };

    // run
    int minSwaps = MinSwaps.computate(unordered);

    // verify
    assertEquals(2, minSwaps);
  }

  @Test
  public void example3() {
    // setup
    int[] unordered = new int[] {1, 5, 4, 3, 2};

    // run
    int minSwaps = MinSwaps.computate(unordered);

    // verify
    assertEquals(2, minSwaps);
  }
}

Answer 19

这是C ++中的示例代码，它找到了对hEncoder: Foo[Bar]

序列的排列进行排序的最小交换次数

(1,2,3,4,5,.......n-2,n-1,n)

计算最小数量的交换以订购序列

19 个答案:

使用Java语言