将两个溢出的整数乘以模三分之一

Question

给定三个整数，a，b和c与a,b <= c < INT_MAX我需要计算(a * b) % c，但如果值a * b可能会溢出太大了，这会产生错误的结果。

有没有办法通过bithacks直接计算它，即没有使用不会为有问题的值溢出的类型？

Answer 1

这里并不真正需要Karatsuba的算法。只需将操作数拆分一次即可。

让我们说，为简单起见，您的数字是64位无符号整数。设k = 2 ^ 32。然后

a=a1+k*a2
b=b1+k*b2
(a1+k*a2)*(b1+k*b2) % c = 
   a1*b1 % c + k*a1*b2 % c + k*a2*b1 % c + k*k*a2*b2 % c

现在可以立即计算a1*b1 % c，其余的可以通过交替执行x <<= 1和x %= c 32或64次来计算（因为（u * v）％c =（（u） ％C）* v）％C）。如果c >= 2^63，这表面上可能会溢出。然而，好的一点是，这对操作不需要按字面意思执行。 x < c/2然后您只需要一个班次（并且没有溢出），或者x >= c/2和

2*x % c = 2*x - c = x - (c-x).

（并且没有再次溢出）。

Answer 2

几个主要编译器提供128位整数类型，您可以使用它来执行此计算而不会溢出。