Newton Raphson与SSE2 - 有人可以解释我这3行

Question

我正在阅读这份文件：http://software.intel.com/en-us/articles/interactive-ray-tracing

我偶然发现了这三行代码：

  

SIMD版本已经快了很多，但我们可以做得更好。   英特尔为SSE2指令集添加了快速1 / sqrt（x）函数。   唯一的缺点是它的精度有限。我们需要   精度，所以我们使用Newton-Rhapson改进它：

 __m128 nr = _mm_rsqrt_ps( x ); 
 __m128 muls = _mm_mul_ps( _mm_mul_ps( x, nr ), nr ); 
 result = _mm_mul_ps( _mm_mul_ps( half, nr ), _mm_sub_ps( three, muls ) ); 

  

此代码假定存在名为“half”的__m128变量   （四次0.5f）和变量“三”（四次3.0f）。

我知道如何使用Newton Raphson来计算函数的零，我知道如何使用它来计算数字的平方根，但我只是看不出这个代码是如何执行它的。

有人可以向我解释一下吗？

Answer 1

鉴于牛顿迭代，在源代码中看到这一点应该非常简单。

 __m128 nr   = _mm_rsqrt_ps( x );                  // The initial approximation y_0
 __m128 muls = _mm_mul_ps( _mm_mul_ps( x, nr ), nr ); // muls = x*nr*nr == x(y_n)^2
 result = _mm_mul_ps(
               _mm_sub_ps( three, muls )    // this is 3.0 - mul;
   /*multiplied by */ __mm_mul_ps(half,nr)  // y_0 / 2 or y_0 * 0.5
 );

确切地说，此算法适用于the inverse square root。

请注意这个still doesn't give fully a fully accurate result。具有NR迭代的rsqrtps提供近23位的准确度，而sqrtps的24位具有正确的最后一位舍入。

如果您想truncate the result to integer，则有限的准确性是一个问题。 (int)4.99999是4。另外，如果使用x == 0.0，请注意sqrt(x) ~= x * sqrt(x)案例，因为0 * +Inf = NaN。

Answer 2

要计算a的倒数平方根，牛顿方法应用于具有导数0=f(x)=a-x^(-2)的等式f'(x)=2*x^(-3)，因此迭代步骤

N(x) = x - f(x)/f'(x) = x - (a*x^3-x)/2 
     = x/2 * (3 - a*x^2)

与全局收敛Heron's method相比，这种无除法的方法具有有限的收敛区域，因此您需要已经很好地逼近逆平方根以获得更好的近似。