Question

我正在寻求实现一个算法，该算法给出了一个整数数组和该数组中的范围（区间）列表，返回每个区间中不同元素的数量。也就是说，给定数组A和范围[i，j]返回集合{A [i]，A [i + 1]，...，A [j]}的大小。

显然，天真的方法（从i迭代到j并计算忽略重复）太慢了。范围和似乎不适用，因为A U B - B并不总是等于B.

我在维基百科中查找了范围查询，并暗示姚明（在'82）显示了一个算法，它为半群运算符（这种联合似乎是）提供了线性预处理时间和空间以及几乎恒定的查询时间。遗憾的是，这篇文章不是免费提供的。

修改：http://www.spoj.com/problems/DQUERY/

显示此确切问题

Answer 1

有一个相当简单的算法，它使用O（N log N）时间和空间进行预处理，每个查询使用O（log N）时间。首先，创建一个持久的分段树来回答范围和查询（最初，它应该在所有位置都包含零）。然后遍历给定数组的所有元素并存储每个数字的最新位置。在每次迭代中，创建一个持久段树的新版本，将1放到每个元素的最新位置（在每次迭代时，只能更新一个元素的位置，因此段树中只有一个位置的值发生变化，因此可以在O（log N））。回答一个查询（l，r）你只需要在迭代通过初始数组的r元素时创建的树的版本找到（l，r）段的和。希望这个算法足够快。 UPD。在我的解释中有一点错误：在每一步，段树中最多两个位置的值可能会改变（因为如果更新了数字，则必须将0放到数字的先前最新位置）。但是，它并没有改变复杂性。

Answer 2

您可以通过执行二次时间预计算，在恒定时间中回答您的任何问题：

For every i from 0 to n-1
    S <- new empty set backed by hashtable;
    C <- 0;
    For every j from i to n-1
        If A[j] does not belong to S, increment C and add A[j] to S.
        Stock C as the answer for the query associated to interval i..j.

此算法采用二次时间，因为对于每个区间，我们执行有限数量的操作，每个操作都需要一个恒定时间（请注意，集合S由哈希表支持），并且存在二次数的间隔。

如果您没有关于查询的其他信息（查询总数，间隔分布），则无法做得更好，因为间隔总数已经是二次方。

您可以通过n线性动态计算来权衡二次预计算：在收到A [i..j]形式的查询后，预计算（在O(n)时间内）回答所有时间间隔A[i..k]，k>=i。这将保证摊销的复杂性将保持二次，并且您不会被迫在开始时执行完整的二次预计算。

请注意，明显的算法（在语句中称之为明显的算法）是立方体，因为您完全扫描每个区间。

Answer 3

这是另一种可能与分段树密切相关的方法。将数组的元素视为完整二叉树的叶子。如果数组中有2 ^ n个元素，则该完整树有n个级别。在树的每个内部节点处存储位于其下方的叶子中的点的并集。数组中的每个数字需要在每个级别中出现一次（如果有重复，则少一些）。因此，空间成本是log n的一个因素。

考虑长度为K的范围A..B。您可以通过形成与叶子和节点相关联的集合的并集，在尽可能高的树上拾取节点来计算此范围内的点的并集，只要这些节点下的子树完全包含在该范围内。如果你沿着范围挑选尽可能大的子树，你会发现子树的大小先增加然后减少，所需的子树数只会随着范围大小的对数而增长 - 在开始时如果你只能得到一个大小为2 ^ k的子树，它将在一个可被2 ^（k + 1）整除的边界上结束，你将有机会得到一个大小至少为2 ^（k + 1）的子树作为下一个如果您的范围足够大，请采取步骤。

因此，回答查询所需的半群操作数是O（log n） - 但请注意，半群操作可能很昂贵，因为您可能正在形成两个大集的并集。

半群运算符的范围查询（并集）

3 个答案: