Question

你有N个警卫在一条线上，每个都有硬币需求。只有当他的要求低于你到达他之前已经完全支付的费用时，你才可以跳过支付警卫。找到你花在跨越所有警卫的最少数量的硬币。

我认为这是一个DP问题，但无法提出一个公式。另一种方法是对答案进行二元搜索，但如何验证是否有多个硬币是可能的答案？

Answer 1

这确实是一个动态的编程问题。

考虑功能f(i, j)，如果有第一个true警卫的分配给你i费用j（1）。您可以在大小为f(i, j)的表格中安排功能n x S，其中S是所有警卫需求的总和。

我们将d_i表示为后卫i的要求。只要f(i+1)扫描f(i)并将f(i)指定为f(i+1, j + d_i)，如果f(i + 1, j)为真且j < d_i，您就可以轻松计算列f(i + 1, j) ，或j >= d_i如果O(nS)。

这会在O(S)时间和n空间中运行（您每次只需要保留两列），这只是假多项式（如果需求在某种程度上有限且不会随之增长，则会呈二次方式） B）。

降低DP问题复杂性的一个常见技巧是获得最优解的值的上限O(nB)。通过这种方式，您可以修剪不必要的行，获得S的时间复杂度（嗯，偶数B = 2M是一个上限，但是非常天真）。

事实证明，在我们的案例中，M，其中best_assignment(i)是警卫的最大需求。事实上，考虑函数i，它为您提供了通过第一个j警卫的最少金币数量。让M成为需求best_assignment(j - 1) > M的守卫。如果j-1，那么显然整个序列的最佳分配是为最好的第一个best_assignment(j - 1) + M < 2M守卫分配保护并跳过其他守卫，否则上限由{{1}给出}。但在第一种情况下可以best_assignment(j - 1)多少？它不能超过2M。这可以通过矛盾来证明。我们假设best_assignment(j - 1) > 2M。在此作业中，警卫j-1是否已付款？不，因为2M - d_{j-1} > d_{j-1}，因此无需支付。同样的论点适用于j-2，j-3，...... 1，因此没有支付任何警卫，这是荒谬的，除非M = 0（一个非常天真的案例需要检查）

由于上限被证明是2M，上面所示的带有n列和2M行的DP解决了问题，时间复杂度O(nM)和空间复杂性O(M)。

Answer 2

function crossCost(amtPaidAlready, curIdx, demands){
    //base case: we are at the end of the line
    if (curIdx >= demands.size()){
        return amtPaidAlready;
    }

    costIfWePay = crossCost(amtPaidAlready + demands[curIdx], curIdx+1, demands);
    //can we skip paying the guard?
    if (demands[curIdx] < amtPaidAlready){
        costIfWeDontPay = crossCost(amtPaidAlready, curIdx+1, demands);
        return min(costIfWePay, costIfWeDontPay);
    }
    //can't skip paying
    else{
        return costIfWePay;
    }
}

这在O（2 ^ N）时间运行，因为它可能每次执行时调用自己两次。它是memoization的一个很好的候选者，因为它是一个没有副作用的pure function。

Answer 3

这是我的方法：

int guards[N];
int minSpent;

void func(int pos, int current_spent){
    if(pos > N)
        return;
    if(pos == N && current_spent < minSpent){
        minSpent = current_spent;
        return;
    }

    if(guards[pos] < current_spent)      // If current guard can be skipped
        func(pos+1,current_spent);       // just skip it to the next guard
    func(pos+1,current_spent+guards[pos]);   // In either cases try taking the current guard
}

以这种方式使用：

minSpent = MAX_NUM; 
func(1,guards[0]);

这将尝试所有可能的O（2 ^ N），希望这会有所帮助。

警卫和需求

3 个答案: